From Wikipedia, the free encyclopedia
Matrica – stačiakampė elementų (dažniausiai skaičių) lentelė. Matricas tiria matricų teorija.[1] Matricos naudojamos tiesinių lygčių sistemoms spręsti, taip pat atliekant tiesines transformacijas (pavyzdžiui, kompiuterinėje geometrijoje sukant objektus ar keičiant jų dydį).
Matricą sudaro eilutės ir stulpeliai. Jeigu matricą sudaro m eilučių ir n stulpelių, ji vadinama [m × n] dydžio (arba [m × n] formato) matrica. i - osios eilutės ir j - otojo stulpelio sankirtoje esantis elementas paprastai žymimas aij. Pavyzdžiui, pirmosios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje esantis elementas žymimas a12 (skaitoma "a vienas du", o ne "a dvylika"). Jeigu vienas iš matricos matmenų lygus vienetui, ji vadinama vektoriumi.
Dvi to paties dydžio matricos vadinamos lygiomis, jei jų atitinkami elementai yra lygūs: A = B, jei aij = bij visiems i ir j.
Pavyzdys:
Matrica A yra 2×4 dydžio; ją sudaro dvi eilutės (m = 2) ir keturi stulpeliai (n = 4).
Matricas galima tarpusavyje atimti ar sudėti, jeigu jų dydžiai sutampa, t.y jas sudaro vienodas eilučių ir stulpelių skaičius. Rezultate gaunasi tokio pat dydžio matrica, kurios kiekvienas elementas gaunamas atliekant operaciją su atitinkamais sudedamų (atimamų) matricų elementais. Pavyzdžiui, jeigu turime dvi matricas A ir B, kurių dydis [m × n], tuomet jų suma apskaičiuojama sudedant atitinkamus kiekvienos matricos elementus (su sutampančiais indeksais), t.y jei C = A + B, tai cij = aij + bij.
Atimties pavyzdys:
Matricas galima dauginti tarpusavyje, jeigu matricos yra suderintos. Tai reiškia, kad matricą A = (aik), kurios dydis – [m × s], galima dauginti iš tokios matricos B=(bkj), kurios eilučių skaičius sutampa su matricos A stulpelių skaičiumi, t.y matricos B dydis turi būti [s × n]. Sudauginus A ir B matricas, gaunama [m × n] formato matrica C = (cij), t.y
Kiekvienas matricos C elementas cij yra apskaičiuojamas pagal formulę:
čia 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n.
Pavyzdys: Apskaičiuokime matricą C = AB, kai
Pirmiausia turime įsitikinti, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atveju matricos A dydis yra [2 × 3], o matricos B - [3 × 2], taigi matricos yra suderintos, nes matricos A stulpelių skaičius (3) yra lygus matricos B eilučių skaičiui. Gausime matricą C, kurios dydis yra [2 × 2]. Turime
Labai svarbi matricų daugybos savybė yra ta, kad bendruoju atveju AB ≠ BA, t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi. Tai reiškia, kad dauginant matricas būtina atsižvelgti į jų tvarką.
Pavyzdys: Apskaičiuokime matricą D = BA, kai
Įsitikiname, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atveju matricos B dydis yra [3 × 2], o matricos A - [2 × 3], taigi matricos yra suderintos, nes matricos B stulpelių skaičius (2) yra lygus matricos A eilučių skaičiui. Gausime matricą D, kurios dydis yra [3 × 3]. Turime
Kaip matome C ≠ D.
Matricos, kurioms galioja lygybė AB = BA vadinamos komutuojančiomis. Pavyzdžiui
Matricą A galima padauginti iš skaičiaus α. Atliekant šį veiksmą kiekvienas matricos elementas yra dauginamas iš α.
Pavyzdys.
Matricų sudėčiai bei matricų daugybai galioja šios savybės:
Nors matricų daugyba yra nekomutatyvi, jai galioja šie asociatyvumo dėsniai:
Taigi dauginant daugiau negu dvi matricas daugybų tvarka yra nesvarbi. Svarbi yra tik matricų tvarka.
Dėl matricų daugybos nekomutatyvumo galioja šie distributyvumo dėsniai:
Jei turime skaičius α ir β, tai galioja šios savybės:
Kvadratinei matricai apibrėžiamas charakteristinis polinomas, kurio šaknys vadinamos matricos tikrinėmis reikšmėmis, taip pat svarbi yra matricos tikrinio vektoriaus sąvoka. Matricos pagrindinės įstrižainės elementų suma yra vadinama matricos pėdsaku, jis yra lygus matricos tikrinių reikšmių sumai.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.