Series (mathematica)

Series in mathematica universe est operatio multarum quantitatum additarum in infinitum, singillatim, usque ad primam quantitatem datam.^[1] Investigatio serierum est maior pars calculi et eius generalizationis, analysis mathematicae. Series in plurimis mathematicae regionibus adhibetur, etiam in structuris finitis investigandis (ut in combinatorica) per functiones generantes. Series infinitae, praeter eorum ubiquitate in mathematica, late adhibentur in disciplinis sicut physica, scientia computatrali, statistica, et aerario

Tres series geometricae.

Notio summationis infinitae quae exitum finitum efficere potest paradoxum diu a mathematicis videbatur.

Series subtiliter deefinita

Series subtiliter est summa sequentiae. Hoc est, si sequentiam habemus ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},...}$ possumus seriem facere: ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+...}$ Sigma littera Graeca seriem significat: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}=a_{0}+a_{1}+a_{2}....}$

Series finita est additio: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{i=5}i=1+2+3+4+5=15}$. Series autem infinita summam finitam aut infinitam habere potest. Si summa est finita, dicimus seriem ad limitem appropinquare vel vergere; si summa est infinita, series non vergit.

Summa partialis seriei est summa primorum membrorum. Sit series ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$. Tunc prima summa partialis est ${\displaystyle a_{0}}$, altera est ${\displaystyle a_{0}+a_{1}}$, tertia est ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}}$, quarta est ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}}$, et similiter. Summae partiales sunt numeri, et fiunt sequentia.

Summa seriei infinitae (per definitionem) est limes sequentiae summarum partialium. Hoc est, sit ${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}}$ Si sequentia ${\displaystyle {s_{j}}}$ limitem habet, haec limes est summa seriei; si autem limitem non habet, series summam non habet.

Ecce exemplum. Series ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}...}$ habet summas partiales: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, . . . Haec sequentia ad limitem 1 vergit; 1 est ergo summa seriei.

Sed series ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=1+1/2+1/3+1/4...}$ divergit, quod summae partiales sine limite crescunt: 1, 3/2, 11/6, 25/12, . . . Series ergo nullam limitem habet. Nomen seriei est series harmonica.

Series cuius forma est ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{r^{i}}}}$ dicitur series geometrica et r est ratio communis, quod est ratio membri cuiusdam et sequentis membri: ${\displaystyle {\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}=r}$ Series geometrica ad limitem ${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}}$ vergit cum ${\displaystyle |r|<1}$, et aliter divergit.

Nexus interni

• Anellus
• Series Fourieriana