라디안(영어: radian) 또는 호도(弧度)는 각의 크기를 재는 SI 유도 단위이다. 기호는 rad 또는 c이며 이는 자주 생략된다. 어떤 각의 라디안 값은 같은 크기의 단위원 중심각이 대하는 호의 길이와 같다. 1 라디안은 약 57.3 도이다.
간략 정보 라디안, 단위의 종류 ...
라디안 |
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단위의 종류 | SI 유도 단위 |
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측정 대상 | 각 |
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기호 | rad 또는 c |
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1 rad ▼ | 동등 환산값 |
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밀리라디안 | 1,000 밀리라디안 |
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바퀴 | 1/2π 바퀴 |
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도 | 180/π ≈ 57.296° |
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곤(gon) | 200/π ≈ 63.662g |
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라디안과 도
라디안의 정의
평면 위의 각이 주어졌다고 하자. 이 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 원을 취하자. 이 원의 반지름을
이라고 하고, 이 원에서 주어진 각이 대하는 호의 길이를
이라고 하자. 원주율은 모든 원에 대하여 일정하므로, 호의 길이와 반지름의 비
![{\displaystyle {\frac {l}{r}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880b68bb40447bfd6a2b24a8ce0faaf15ccd90e1)
는 원의 선택과 무관하다. 이를 주어진 각의 라디안 값으로 정의한다.
예를 들어, 평각은 길이가
인 반원의 둘레를 대하므로
라디안이다.
라디안은 길이와 길이의 비율로 정의되므로 무차원 단위이다. 따라서 단위를 생략하여도 좋다.
라디안과 도
라디안과 도 사이의 환산은 다음과 같다.
(OEIS의 수열 A072097)
(OEIS의 수열 A019685)
라디안과 그레이드
라디안과 그레이드 사이의 환산은 다음과 같다.
(OEIS의 수열 A060294)
(OEIS의 수열 A019669)
자주 쓰이는 각
자주 쓰이는 각들의 단위 환산은 다음과 같다.
삼각 함수
삼각 함수는 라디안 값을 독립 변수로 사용하며, 이 경우 삼각 함수의 각종 성질을 더 간결하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, 사인 함수와 코사인 함수에 대하여 다음과 같은 미분 공식이 성립한다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901cf5cbe0d64b4594507f32c3a831b8013ac09f)
도를 단위로 하는 사인 및 코사인 함수
![{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {\pi x}{180}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a336293fc3df051a2475628659b71e126d1f442)
![{\displaystyle g(x)=\cos {\frac {\pi x}{180}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e45ecefb0a8d39ed221af2a7ac223caa96eb696)
의 미분 공식에는 다음과 같이 불필요한 계수가 붙는다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {\pi }{180}}g(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0876611a7a652f0d4c53f6e462d922a5c5536c)
입체각의 단위 스테라디안과 함께 SI 보조 단위에 속했었다. 1995년에 SI 보조 단위가 폐지되면서 SI 유도 단위가 되었다.