수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 또는 .
닫힘
다음이 주어졌다고 하자.
- 집합
- 위의 '항 관계' . 단, 임의의 에 대하여, 이며,
- 특히, 에 대하여, 위의 항 관계를 위 조건 및 를 만족시키는 '항 관계'로 여길 수 있다. 또한, 항 연산은 자연스럽게 항 관계로 여길 수 있다.
만약 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 가 에 대하여 닫혀있다(영어: closed under )고 한다.
- 임의의 및 에 대하여, 이면
보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, 위의 '항 관계'의 집합 가 주어졌을 때, 가 다음 조건을 만족시키면, 에 대하여 닫혀있다(영어: closed under )고 한다.
- 는 에 대하여 닫혀있다.
- 즉, 임의의 에 대하여, 는 에 대하여 닫혀있다.
위상수학
위상 공간 의 부분 집합 가 다음 항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 에 대하여,
여기서 는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 의 부분 집합 에 대하여, 최소 닫힌집합 를 의 폐포라고 한다.
비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 항 관계 에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 에 대하여,
집합론
집합 가 (모든 집합의 모임 위의) 원소 관계 에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 에 대하여, 최소 추이적 집합 를 의 추이적 폐포라고 한다.
집합 위의 이항 관계 가 위의 일항 관계 에 대하여 닫혀있다면, 즉, 이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 에 대하여, 최소 반사 관계 를 의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.