Loading AI tools
컴퍼스를 이용하면 원을 쉽게 그릴 수 있다. 위키백과, 무료 백과사전
작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용해 여러 가지 도형을 그리는 고전 기하학의 여러 가지 문제들을 가리킨다. 이때 자는 직선을 긋는 용도로만 사용되고, 컴퍼스는 원을 그리고, 선분의 길이를 옮기는 데에 사용된다.
정다각형을 작도하다 보면 작도가 될 때도 있고 안 될 때도 있다. 이 사실은 '어떤 정다각형이 작도가 가능하고 어떤 정다각형이 작도가 불가능하냐'라는 문제로 이어졌다. 작도 가능한 정다각형의 판정방법은 다음과 같다.
좀 더 풀어 쓰면, 작도 가능한 정다각형은 다음 조건들로 나타내어진다.
정삼각형의 작도가 가능하므로 정삼각형의 한 내각의 크기인 60°는 작도가 가능하고, 정오각형의 작도가 가능하므로 정오각형의 한 외각의 크기인 72°는 작도가 가능하다. 또한, 60°를 4등분 해 15°, 30°, 45°의 작도가 가능하고, 72°를 4등분 해 18°, 36°, 54°의 작도가 가능하다.
따라서 18°에서 15°를 뺀 3°가 작도 가능하므로, 작도 가능한 각은 3의 배수이다. 또한 22.5°, 78.75° 같은 1.5의 배수, 0.75의 배수인 각 또한 작도 가능하다.
정십칠각형, 정이백오십칠각형의 작도가 가능하므로 인 각과 의 배수인 각 또한 작도가 가능하며, 인 각과 의 배수인 각 또한 작도할 수 있다.
이등분할 각은 임의의 세 점인 점 X, 점 O, 점 Y가 이루는 각 XOY이다.
선분 OA=선분 OB, 선분 AP=선분 BP, 선분 OP는 공통 (SSS합동) 각 AOP와 각 BOP가 서로 대응각이므로 선분 OP는 각의 이등분선이다.
위와 같이 해서 마름모를 그릴 수 있다. 마름모의 대각선의 성질은 서로 수직 이등분한다는 것이다. 따라서, 수직이등분하려는 위의 선분은 수직이등분된다. 또한, 마름모의 네 변의 길이는 모두 같으므로 작도 과정에서 생긴 두 원의 교점을 각각 P, Q라고 하고 선분의 양 끝점을 각각 A, B라고 할 때 점 A, B에서 점 P, Q와의 거리는 모두 같다.
만약 어떤 선분을 등분하고 싶다고 할 때의 등분법은 다음과 같다.
임의의 각을 3등분 하는 작도는 '3대 작도 불가능 문제' 중 하나지만, 정삼각형을 이용하면 30도를 작도할 수 있으므로 직각은 3등분할 수 있다. 직각의 삼등분 순서는 다음과 같다.
이탈리아의 수학자인 로렌초 마스케로니에 의하면 자 없이 컴퍼스만으로 작도할 수 있다는 것이 증명되었다. 단, 이 때에 두 점이 주어지면 직선은 그어진 것이라고 본다. 즉, 원과 원의 교점을 이용하여 작도할 수 있지만 직선과 직선, 직선과 원의 교점은 이용할 수 없는 것과 같다.
이 증명은 모르-마스케로니 정리라고도 불리며, 이 정리의 내용이 담긴 논문은, 평소 수학을 좋아하던 나폴레옹 1세에게 헌정되기도 했다.
![]() | 이 문단은 아직 미완성입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다. |
3대 작도 불가능 문제(3大作圖不可能問題)는 고대 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 문제이다. 2000년 이상의 오랜 시간 동안 많은 사람들이 풀이를 구하려고 했으나 성공하지 못했고, 19세기에 들어와서 세 가지 문제 모두 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 세 가지 문제는 다음과 같다.
이 문제는 흔히 델로스의 문제라고도 부른다. 전설에 따르면 기원전 430년, 아테네 시민들이 전염병을 없애려면 어떻게 해야 하냐고 델로스의 아폴로 신탁에 물었을 때, '제단을 두 배로 만들라'는 답을 들었다고 한다. 이에 아테네 시민들이 제단의 각 변을 두 배로 늘려서 만들었는데도, 전염병이 수그러들지 않았다. 왜냐하면 신탁의 답변은 제단의 길이를 두 배로 늘리는 것이 아니라 제단의 부피를 두 배로 늘리라는 것이었기 때문이다. 제단의 길이를 두 배로 늘리면, 제단의 부피는 여덟 배(23)가 된다.
원래 정육면체의 부피를 V라고 한다면, 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래 정육면체보다 변의 길이가 배가 되어야 한다. 는 작도 가능한 수가 아니므로, 이 문제는 눈금없는 자와 컴퍼스로는 해결할 수 없다.
(여기서의 "제단의 길이"는 제단의 모든 길이(가로,세로,높이)를 말한다. 만약 가로길이만을 2배로 한다면 부피는 2배가 된다.)
눈금없는 자와 컴퍼스를 이용해서는 와 같은 비율을 만들 수 없기 때문에 이 문제는 해결이 불가능하다.
위와 같이 3대 작도 불가능 문제는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하는 것으로는 모두 해결이 불가능함이 증명되었다. 그런데 그 중 임의의 각의 삼등분 문제를 해결할 수 있다고 주장하는 사람들을 삼등분가(trisector)라고 한다. 이러한 삼등분가들은 자신의 방법으로는 작도가 가능한데[1], 권위있는 수학자들이 이해를 거부한다는 주장을 펼친다. 또한 이들은 임의의 각의 삼등분이 작도 할 수 없다는 이유를 이해하지 않고, 그들의 주장의 오류를 찾아줘도 인정하지 않기 일쑤이다. 그러나 "불가능함이 증명되었다."는 말은 이 문제에 대하여서는 앞으로 아무리 획기적이고 새로운 논리나 방법론이 등장한다고 하여도 바뀌지 않는 것으로, "절대로 불가능하다."는 의미이므로 이들의 주장은 검토할 가치조차 없는 것이다. 따라서 전 세계의 대부분의 수학계에서는 삼등분가의 주장을 담은 논문은 전혀 인정하지 않는다. 하지만 예외로 고대 그리스의 히피아스라는 수학자가 원적 곡선을 이용해 삼등분각 문제에 성공했지만 원적 곡선이라는 특수한 곡선을 이용했다는 점에서 논란이 있다.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.