정다각형
모든 각의 크기가 같으며 모든 변의 길이도 같은 다각형이다. 정다각형의 종류는 무수히 많다 / From Wikipedia, the free encyclopedia
정다각형(正多角形, 영어: regular polygon)은 모든 각의 크기가 같으며 모든 변의 길이도 같은 다각형이다. 변의 개수가 같은 정다각형끼리는 모두 닮음이다. 또한 정다각형은 변이 많을 수록 대각선의 길이의 종류도 다양해진다. 정사각형과 정오각형은 모든 대각선의 길이가 같다가 정육각형부터는 대각선의 길이가 달라지기 시작한다. 또한 정칠각형부터는 두 개 이상의 별이 그려질 수 있으며, 모든 정다각형은 원에 내접할 수 있다.
참고로 정n각형의 대각선의 길이의 종류는 n이 짝수일 때 (n-2)÷2=n÷2-1이고, 홀수일 때에는 (n-3)÷2=(n-1)÷2-1이다. 정2n각형의 대각선은 특정 꼭짓점으로부터 2칸 이상 떨어진 것부터 세어서 2, 3, ..., (n-2)÷2, n÷2, (n-2)÷2, ..., 3, 2이고, 정2n+1각형도 같은 방식으로 계산해보면 2, 3, ..., (n-3)÷2, (n-3)÷2, ..., 3, 2이 되기 때문이다. 대각선은 다각형이나 다면체에서 서로 이웃해 있지 않은 두 꼭짓점을 이은 선분이다. 한 꼭짓점에 그을 수 있는 대각선은 이웃해 있는 두 각과 자기 자신을 뺀 n-3개인데, 여기에 n을 곱하면 모두 두 번 중복되기 때문에 2로 나누어서 개수를 구할 수 있다.
어떤 다각형은 대각선을 모두 그으면 별모양이 된다. 특히 변의 개수가 소수 p개 일 때 p의 값이 커질수록 더 많은 별이 나온다. 정다각형은 모든 내각과 외각의 크기가 같고, n각형의 내각의 합은 180×(n-2) 라는 점을 이용하여 n각형의 내각의 합을 n으로 나누면 정n각형의 한 내각의 크기를 구할 수 있으며 180×(n-2)÷n이다. 또한 모든 다각형의 외각의 합은 언제나 360°이므로 정n각형의 한 외각의 크기는 360÷n의 값으로 구한다. 참고로 선분은 방향을 고려하지 않으면 길이로만 구분할 수 있기 때문에 길이가 서로 같은 길이를 가진 대각선은 묶어서 하나인 것으로 본다.
정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 정칠각형, 정팔각형, 정구각형, 정십각형, 정십일각형, 정십이각형, 정십삼각형, 정십사각형, 정십오각형, 정십육각형, 정십칠각형, 정십팔각형, 정십구각형, 정이십각형 등 정다각형의 종류는 무수히 많다.