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한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 경로 위키백과, 무료 백과사전
기하학에서 다각형(多角形, polygon)은 한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 경로이다. 다각형(多角形)이라는 말을 글자 그대로 해석하면 각이 많은 모양(도형)이라는 뜻이다. 다각형을 이루는 각각의 선분들을 그 다각형의 변이라 하고, 변의 끝점을 꼭짓점이라 한다. 단순한 다각형의 경우 그 변들의 합집합은 다각형 영역의 경계를 이룬다. 다각형은 변의 개수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 이름 붙인다.
다각형의 집합은 특정한 성질을 갖는지에 따라 다음과 같이 여러 부분집합으로 나눌 수 있다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.
여기서부터는 유클리드 기하를 가정한다.
n각형의 자유도는 2n이다. 그 중 2는 위치를, 1은 놓여 있는 방향을, 1은 전체적인 크기를 결정하며 나머지 2n−4 가 모양을 결정한다.
다각형에 선대칭성이 있을 경우 모양에 대한 자유도가 n−2 로 줄어든다. 일반적으로 k를 2 이상의 정수라고 하면 k겹(k-fold) 회전대칭성(Ck)을 갖는 nk각형의 모양에 대한 자유도는 2n−2이다. 여기에 선대칭성이 추가된 경우(Dk)에는 n−1이다.
정다각형이건 아니건, 단순하건 단순하지 않건, 다각형 은 변의 수만큼의 각을 갖는다. 단순한 n각형의 내각(다각형 내부에 있는 각)의 합은 π(n−2) 라디안(혹은 180°(n−2))이다. 따라서 정n각형의 한 내각의 크기는 π(n−2)/n 라디안(혹은 180°(n−2)/n, 혹은 (n−2)/(2n) 회전)이다. 이것은 다음과 같이 두 가지 방법으로 이해할 수 있다.
(단순할 필요가 없는) 일반적인 각형을 따라 움직이는 경우 각 꼭짓점에서 방향을 튼 각도의 합은 360°의 정수배가 된다. 예를 들어 오각별에서는 720°, 각진 8자 모양에서는 0°이다. 궤도 항목도 참고.
데카르트 좌표계에서 각 꼭짓점의 좌표가 그 내부를 반시계방향으로 도는 순서대로 로 주어져 있는 단순한 다각형의 넓이 는 다음과 같이 계산할 수 있다.
신발끈 공식이라고 하는 이 공식은 1769년 마이스터가, 그리고 1795년 가우스가 사용하였다. 이 공식은 다각형을 삼각형들로 나누어 생각함으로써 증명할 수 있으나, 그린 정리의 특수한 경우로 볼 수도 있다.
다각형의 꼭짓점이 간격이 일정한 격자의 격자점에만 놓여 있는 경우, 픽의 정리를 사용하면 다각형 내부와 경계에 있는 점의 개수를 가지고 간단하게 넓이를 구할 수 있다.
두 다각형의 넓이가 같으면, 언제나 그 중 하나를 몇 개의 다각형으로 자르고 그 조각들을 다시 맞춤으로써 다른 하나와 같은 모양을 만들 수 있다. 이것을 볼야이와 거윈의 정리(Bolyai-Gerwien theorem)라 한다.
각 변의 길이가 인 정각형의 넓이는 이다.
원 또는 다각형 위에 내접하는 다각형으로, 모든 꼭짓점이 주어진 원 또는 다각형의 둘레 위에 놓여 있다. ≒ 내접형
모든 정다각형, 모든 삼각형, 모든 직사각형, 모든 등변사다리꼴은 원에 내접하는 다각형이다.
N각형의 모든 꼭짓점이 쓰여진, 최소개의 삼각형의 외심이 일치하면 N각형은 내접 다각형이다.
먼저 N각형 N개의 점을 모두 쓰기위해서는 삼각형이 개가 되어야 한다.
그리고 그 삼각형들의 외심이 모두 일치한다면, 외심으로부터 각 점들까지의 거리가 같으므로, 내접다각형이 된다.
원 또는 다각형 위에 외접하는 다각형으로, 모든 변이 주어진 원의 둘레 또는 다각형의 꼭짓점에 닿는다.
외접형=모든 정다각형, 모든 삼각형, 모든 마름모, 모든 볼록 연꼴는 원에 외접하는 다각형이다.
볼록N각형의 모든 내각의 이등분선이 한 점에서 만나면 각형은 외접 다각형이다.
원 밖의 한 점에서 원으로 그을 수 있는 접선은 2개.
이 때, 점을 A, 접점을 각각 B, C라고 하고, 원의 중심을 O라 하면, ∠OAB = ∠OAC이다.
따라서, 볼록N각형의 모든 내각의 이등분선이 한 점에서 만나면, 이등분선들의 교점을 중심으로하는 한 원에 외점하게 된다.
컴퓨터 그래픽이나 수치기하학에서는 다각형의 각 꼭짓점이 주어져 있을 때, 어떤 점이 그 다각형 내부의 점인지 결정해야 하는 경우가 많다.
다각형에 대하여 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
삼각형에서, 등변삼각형이 되는 것과 등각삼각형이 되는 것은 정삼각형으로 동치이다.
사각형에서, 등변사각형은 곧 마름모이며, 등각사각형은 직사각형 또는 네 꼭짓점이 직사각형의 꼭짓점과 일치하는 "각진 8자" 모양이다.