전사 함수

수학에서 전사 함수(全射函數, 영어: surjection; surjective function) 또는 위로의 함수(영어: onto)는 공역과 치역이 같은 함수이다.

전사 함수의 예

정의

두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=y}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 존재한다.
• 공역과 치역이 같다. 즉, ${\displaystyle Y=f(X)}$이다.
• ${\displaystyle f}$는 집합의 범주에서의 전사 사상이다. 즉, 임의의 집합 ${\displaystyle Z}$ 및 함수 ${\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Y\to Z}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$라면 ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$이다.
• ${\displaystyle f}$는 집합의 범주에서의 분할 전사 사상이다. 즉, ${\displaystyle f\circ g}$가 ${\displaystyle Y}$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 존재한다. (이는 선택 공리를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)

성질

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$가 주어졌다고 하자.

• 만약 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 둘 다 전사 함수라면, ${\displaystyle g\circ f}$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle g\circ f}$가 전사 함수라면, ${\displaystyle g}$ 역시 전사 함수이다. 하지만 ${\displaystyle f}$가 전사 함수일 필요는 없다.

두 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 전사 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재하거나, 아니면 ${\displaystyle Y=\varnothing }$이다.
• ${\displaystyle |X|\geq |Y|}$이다. 여기서 ${\displaystyle |\cdot |}$는 집합의 크기이다.

공역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)

예

정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$인 함수

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

는 전사 함수가 아닌데, ${\displaystyle x^{2}=-1}$인 실수 ${\displaystyle x}$가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 대신, 음이 아닌 실수의 집합 ${\displaystyle [0,\infty )}$이라면, 함수

${\displaystyle \mathbb {R} \to [0,\infty )}$

${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

는 전사 함수이다.

역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 "서젝션"(영어: surjection), "쉬르젝시옹"(프랑스어: surjection) 등은 단사를 뜻하는 "인젝션"(영어: injection), "앵젝시옹"(프랑스어: injection)에서, 접두사 "인"(라틴어: in, 안으로)을 "쉬르"(프랑스어: sur 쉬르^[*], 위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 단사 함수
• 전단사 함수
• 전사 사상

참고 문헌

• Halmos, Paul R. (1974). 《Naive set theory》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 978-0-387-90092-6. ISSN 0172-6056. MR 0453532. Zbl 0287.04001.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Surjection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Surjection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.