에너지-운동량 텐서

에너지-운동량 텐서(energy-運動量 tensor, 영어: stress–energy tensor 또는 영어: energy–momentum tensor)는 에너지와 운동량의 밀도 및 유량(流量, flux)을 나타내는 2-텐서다. 비상대론적 역학의 변형력 텐서(stress tensor)를 상대화한 것으로 볼 수 있다. 기호는 라틴 대문자 ${\displaystyle T}$다.

에너지-운동량 텐서의 각 원소

정의

에너지-운동량 텐서의 각 원소 ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$는 4차원 운동량 ${\displaystyle p^{\alpha }}$의 ${\displaystyle x^{\beta }}$ 방향에 대한 유량(流量, flux)이다. 4차원 운동량의 0번째 원소 ${\displaystyle p^{0}}$은 에너지이고, ${\displaystyle x^{0}}$ (시간) 방향에 대한 유량은 밀도이므로, 다음과 같이 각 원소를 해석할 수 있다.

${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$	0	1	2	3
0	에너지 밀도	에너지 유량 (${\displaystyle x}$방향)	에너지 유량 (${\displaystyle y}$방향)	에너지 유량 (${\displaystyle z}$방향)
1	${\displaystyle x}$-방향 운동량 밀도	${\displaystyle x}$방향 압력	${\displaystyle xy}$평면에 대한 변형력	${\displaystyle xz}$평면에 대한 변형력
2	${\displaystyle y}$-방향 운동량 밀도	${\displaystyle xy}$평면에 대한 변형력	${\displaystyle y}$방향 압력	${\displaystyle yz}$평면에 대한 변형력
3	${\displaystyle z}$-방향 운동량 밀도	${\displaystyle xz}$평면에 대한 변형력	${\displaystyle yz}$평면에 대한 변형력	${\displaystyle z}$방향 압력

일반 상대성 이론에서, 아인슈타인-힐베르트 작용을 통해 유도하는 아인슈타인 방정식에 등장하는 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-\det g}}}{\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}({\sqrt {-\det g}}{\mathcal {L}})=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}}$

(여기서 −+++ 계량 부호수를 사용한다.) 이는 항상 대칭 텐서이며, 아인슈타인 방정식에 따라 아인슈타인 텐서에 비례한다.

뇌터 정리에 따라, 에너지-운동량 텐서는 민코프스키 공간의 시공간 병진(translation) 대칭에 대응하는 보존량이다. 다만, 뇌터 정리로 유도하는 에너지-운동량 텐서는 일반적으로 대칭 텐서가 아니며, 아인슈타인 방정식에 등장하는 에너지-운동량 텐서와 다를 수 있다.

같이 보기

• 뇌터 정리
• 아인슈타인 방정식
• 상태 방정식 (우주론)
• 일반 상대성 이론의 지름길

외부 링크

• Lecture, Stephan Waner
• Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric