상태 방정식 (우주론)

물리우주론에서 상태 방정식(狀態方程式, 영어: equation of state)은 이상 유체의 에너지-운동량 텐서를 특정짓는 무차원 매개변수이며, 압력과 에너지 밀도의 비다. 기호는 w. 이는 이상 유체의 (열역학적) 상태 방정식의 매개변수에 해당한다.

정의

이상 유체(perfect fluid)의 에너지-운동량 텐서는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho \\&p\\&&p\\&&&p\end{pmatrix}}}$

여기서 ${\displaystyle \rho }$는 유체의 에너지 밀도, ${\displaystyle p}$는 유체의 압력이다. 이 경우 유체의 상태 방정식 ${\displaystyle w}$는

${\displaystyle w=p/\rho }$

이다.

프리드만 방정식과의 관계

프리드만 방정식은

${\displaystyle 3{\ddot {a}}/a=-4\pi G(\rho +3p)=-4\pi G(1+3w)\rho }$

이다. (편의상 우주 상수를 ${\displaystyle w=-1}$인 물질로 취급할 수 있다.) 그렇다면

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}}$

이고, 평탄한 우주의 경우

${\displaystyle a\propto t^{2/(3(1+w))}}$

이 된다. 따라서 우주의 각 시기를, 그 시기에 중요한 에너지원들의 상태 방정식만으로 나타낼 수 있다.

예

물질	상태 방정식 ${\displaystyle w}$	비고
먼지(영어: dust)	0
무질량 입자 (광자 기체 등)	1/3	등각 대칭에 따라 ${\displaystyle T^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=0}$
우주 상수	−1	${\displaystyle T^{\mu \nu }\propto \eta ^{\mu \nu }}$
공간의 곡률 ${\displaystyle k/a^{2}}$	−1/3	제1 프리드만 방정식으로부터, ${\displaystyle \rho =-(3/8\pi G)k/a^{2}}$. 제2 프리드만 방정식에는 곡률이 등장하지 않으므로, ${\displaystyle 1+3w=0}$
퍼텐셜 ${\displaystyle V(\phi )}$의 스칼라장	${\displaystyle {\frac {{\dot {\phi }}^{2}/2-V(\phi )}{{\dot {\phi }}^{2}/2+V(\phi )}}\in [-1,1]}$	퍼텐셜이 작은 경우 (자유 입자) ${\displaystyle w\to 1}$, 퍼텐셜이 큰 경우 (인플라톤) ${\displaystyle w\to -1}$