수학의 기수법에서 소수(小數, 영어: decimal)는 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.
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정의
음이 아닌 실수 의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.
여기서 각 에 대하여, 는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 번째 자릿수 부터
가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.
또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.
- 인 이 존재하지 않는다.
즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.
유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.
무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다.. 그 예는 다음과 같다.
종류
소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.
유한 소수
소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, 영어: finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다.
십진법과 이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 (은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 (은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.
마찬가지로, 육진법과 십이진법과 십팔진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 (은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 (은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.
유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수도 게재한다.
- 십진법
- 육진법
보다 기본적으로, 가 2이상의 자연수일 때, 진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다.
순환 소수
소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수(循環小數, 영어: repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.
- 십진법
- 육진법
비순환 소수
순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, 영어: non-repeating decimal)라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수가 2와 5) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다.
- 십진 표기
- 육진 표기
무한소수
무리수 (무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다
실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.
실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.
같이 보기
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