내접원

내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 ${\displaystyle I}$로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 ${\displaystyle r}$로 표기한다.

삼각형의 내접원과 내심

내접원을 갖는 사각형

정의

다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.

성질

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.

반지름

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 ${\displaystyle r}$은 넓이 ${\displaystyle S}$와 반둘레 ${\displaystyle s}$를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle r={\frac {S}{s}}}$

삼각형의 세 변의 길이가 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, 반둘레가 ${\displaystyle s}$, 넓이가 ${\displaystyle S}$, 외접원의 반지름이 ${\displaystyle R}$, 방접원의 반지름이 ${\displaystyle r_{A}}$, ${\displaystyle r_{B}}$, ${\displaystyle r_{C}}$라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\\&={\frac {abc}{4sR}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}}}\\&=r_{A}+r_{B}+r_{C}-4R\end{aligned}}}$

첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

접점과 중심각

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내심을 ${\displaystyle I}$라고 하고, 내접원과 두 변 ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BC}$의 접점을 각각 ${\displaystyle T_{B}}$, ${\displaystyle T_{C}}$라고 하고, 직선 ${\displaystyle AI}$와 ${\displaystyle T_{B}T_{C}}$의 교점을 ${\displaystyle P}$라고 할 때, ${\displaystyle BP}$는 ${\displaystyle AI}$의 수선이다.^{[1]:31, §3.4}

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내접원의 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변에서의 접점을 각각 ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, ${\displaystyle T_{C}}$라고 하고, 반둘레를 ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변의 길이를 각각 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$라고 할 때, 다음이 성립한다.

${\displaystyle AT_{B}=AT_{C}=s-a}$

${\displaystyle BT_{C}=BT_{A}=s-b}$

${\displaystyle CT_{A}=CT_{B}=s-c}$

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내심 ${\displaystyle I}$와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle \angle AIB=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle ACB}$

${\displaystyle \angle BIC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BAC}$

${\displaystyle \angle CIA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle CBA}$

외접원과의 관계

삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle r}$라고 할 때, 내심 ${\displaystyle I}$와 외심 ${\displaystyle O}$ 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

${\displaystyle OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}$

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).

${\displaystyle R\geq 2r}$

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내심을 ${\displaystyle I}$, 외접원의 호 ${\displaystyle BC}$의 중점 ${\displaystyle M}$이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).

${\displaystyle MI=MB=MC}$

내심 삼각형

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내각 이등분선 ${\displaystyle AI_{A}}$, ${\displaystyle BI_{B}}$, ${\displaystyle CI_{C}}$의 발 ${\displaystyle I_{A}}$, ${\displaystyle I_{B}}$, ${\displaystyle I_{C}}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내심 삼각형(內心三角形, 영어: incentral triangle) ${\displaystyle I_{A}I_{B}I_{C}}$라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

제르곤 점과 제르곤 삼각형

제르곤 점과 제르곤 삼각형

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내접원과 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변의 접점을 각각 ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, ${\displaystyle T_{C}}$라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 ${\displaystyle AT_{A}}$, ${\displaystyle BT_{B}}$, ${\displaystyle CT_{C}}$는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 제르곤 점(영어: Gergonne point) ${\displaystyle X_{7}}$이라고 한다. 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내접원의 세 접점 ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, ${\displaystyle T_{C}}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 제르곤 삼각형(영어: Gergonne triangle) 또는 내촉 삼각형(영어: intouch triangle) 또는 접촉 삼각형(영어: contact triangle) ${\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}$라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.

증명:

다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 ${\displaystyle AT_{A}}$, ${\displaystyle BT_{B}}$, ${\displaystyle CT_{C}}$는 한 점에서 만난다.

${\displaystyle {\frac {AT_{C}}{T_{C}B}}\cdot {\frac {BT_{A}}{T_{A}C}}\cdot {\frac {CT_{B}}{T_{B}A}}={\frac {s-a}{s-b}}\cdot {\frac {s-b}{s-c}}\cdot {\frac {s-c}{s-a}}=1}$

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.^{[1]:62, §7.4, (iv)}

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내접원과 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변의 접점을 각각 ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, ${\displaystyle T_{C}}$라고 하고, 제르곤 점을 ${\displaystyle X_{7}}$라고 하자. 제르곤 점 ${\displaystyle X_{7}}$을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 ${\displaystyle T_{A}T_{B}}$, ${\displaystyle T_{B}T_{C}}$, ${\displaystyle T_{C}T_{A}}$의 평행선 ${\displaystyle PS}$, ${\displaystyle RU}$, ${\displaystyle TQ}$와 원래 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 두 변 ${\displaystyle BC}$와 ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle CA}$와 ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AB}$와 ${\displaystyle BC}$의 교점을 각각 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle T}$와 ${\displaystyle Q}$라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 애덤스 원(영어: Adams’ circle)이라고 한다.^{[1]:62, §7.4, (v)} 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.^{[1]:62, §7.4, (v)}

증명:

6개의 점 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle U}$와 내심 ${\displaystyle I}$사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 ${\displaystyle IT_{A}P}$, ${\displaystyle IT_{A}Q}$, ${\displaystyle IT_{B}R}$, ${\displaystyle IT_{B}S}$, ${\displaystyle IT_{C}T}$, ${\displaystyle IT_{C}U}$의 빗변이다. ${\displaystyle IT_{A}=IT_{B}=IT_{C}}$는 내접원의 반지름이므로

${\displaystyle PT_{A}=T_{A}Q=RT_{B}=T_{B}S=TT_{C}=T_{C}U}$

를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 ${\displaystyle PT_{A}=T_{A}Q=ST_{B}}$를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 ${\displaystyle CT_{A}=CT_{B}}$이다. 직선 ${\displaystyle PS}$와 ${\displaystyle T_{A}T_{B}}$는 평행하므로 ${\displaystyle CP=CS}$이다. 따라서 ${\displaystyle PT_{A}=ST_{B}}$이다.

선분 ${\displaystyle T_{A}T_{B}}$, ${\displaystyle T_{A}T_{C}}$의 연장선과 점 ${\displaystyle A}$를 지나는 직선 ${\displaystyle BC}$의 평행선의 교점을 각각 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$라고 하자. 그렇다면 직선 ${\displaystyle DE}$와 ${\displaystyle BC}$는 평행하며 삼각형 ${\displaystyle CT_{A}T_{B}}$, ${\displaystyle BT_{A}T_{C}}$는 이등변 삼각형이므로

${\displaystyle DA=AT_{C}=AT_{B}=EA}$

이며, 선분 ${\displaystyle T_{A}A}$는 삼각형 ${\displaystyle T_{A}DE}$의 중선이다. 직선 ${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle PS}$, ${\displaystyle QT}$는 각각 직선 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle T_{A}T_{B}}$, ${\displaystyle T_{A}T_{C}}$와 평행하므로, 삼각형 ${\displaystyle T_{A}DE}$와 선분 ${\displaystyle T_{A}A}$의 합집합은 삼각형 ${\displaystyle X_{7}PQ}$와 선분 ${\displaystyle X_{7}T_{A}}$의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 ${\displaystyle X_{7}T_{A}}$ 역시 삼각형 ${\displaystyle X_{7}PQ}$의 중선이다. 즉, ${\displaystyle PT_{A}=T_{A}Q}$이다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내접원과 꼭짓점 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$의 대변의 접점을 각각 ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, ${\displaystyle T_{C}}$라고 하고, 제르곤 점을 ${\displaystyle X_{7}}$라고 하자. 제르곤 점 ${\displaystyle X_{7}}$을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 ${\displaystyle T_{A}T_{B}}$, ${\displaystyle T_{B}T_{C}}$, ${\displaystyle T_{C}T_{A}}$의 평행선 ${\displaystyle PS}$, ${\displaystyle RU}$, ${\displaystyle TQ}$와 원래 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 두 변 ${\displaystyle BC}$와 ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle CA}$와 ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AB}$와 ${\displaystyle BC}$의 교점을 각각 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle T}$와 ${\displaystyle Q}$라고 하자. 직선 ${\displaystyle UP}$와 ${\displaystyle QR}$, ${\displaystyle QR}$와 ${\displaystyle ST}$, ${\displaystyle ST}$와 ${\displaystyle UP}$의 교점을 각각 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$라고 하자. 그렇다면 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 제르곤 점 ${\displaystyle X_{7}}$은 삼각형 ${\displaystyle XYZ}$의 대칭 중점이며, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 애덤스 원은 삼각형 ${\displaystyle XYZ}$의 제1 르무안 원이다.^{[1]:98, Exercise 9.2}

역사

제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.^{[1]:62, §7.4, (v)}

각주

1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incircle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Contact triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Adams' circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.