가우스의 빼어난 정리

카를 프리드리히 가우스의 빼어난 정리(라틴어: Theorema egregium 테오레마 에그레기움^[*])는 미분기하학의 기초적인 정리 중 하나이다. '빼어난 정리(테오레마 에그레기움)'라는 명칭은 가우스가 이 정리와 그 증명을 실은 라틴어 논문에서 사용한 것이다. 정리를 간단히 표현하면 다음과 같다.

• 어떤 곡면의 가우스 곡률은 그 제1 기본 형식의 계수들과 그 1, 2계 편도함수만으로 표현 가능하다.^[1]

다시 말해, 가우스 곡률은 곡면에 내재적(intrinsic)인 양이라는 것이다. 이로부터 가우스 곡률은 곡면의 등거리변환에 불변이라는 사실을 알 수 있다.

표현

실제로 어떤 곡면의 가우스 곡률 K는 제1 기본 형식의 계수와 도함수를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.

• ${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma }$는 크리스토펠 기호, 정확히 말해 제2종 크리스토펠 기호이다.

증명의 개략

이 정리를 증명하는 아이디어는 간단하나 크리스토펠 기호를 적을 일이 많아 실제로 모든 과정을 적어 나가기에는 복잡하다. 곡면 위의 좌표조각사상 x(u, v)에서 벡터 x_u, x_v의 1계 편도함수와, N의 1계 편도함수를 각각 가우스의 공식과 바인가르텐 공식에 따라 적은 뒤,

x_uuv = x_uvu

의 관계를 이용하여 얻은 식에서 좌변과 우변에 대한 x_v의 계수를 같다고 놓으면 바로 위의 가우스 곡률 표현식을 얻게 된다.

같이 보기

• 제1 기본 형식
• 제2 기본 형식
• 가우스 곡률
• 마이나르디-코다치 방정식

각주

1. Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008, 343쪽.

참고 문헌

• Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008.