콜모고로프-아르놀트-모저 정리

해밀턴 역학에서 콜모고로프-아르놀트-모저 정리(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, 영어: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, 약자 KAM)는 적분가능계에 충분히 작은 섭동항을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 정리이다.

정의

${\displaystyle 2n}$차원 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$ 위의 적분가능계의 작용-각도 변수가 ${\displaystyle (I^{i},\theta _{i})}$라고 하자 (${\displaystyle I^{i}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \theta _{i}\in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$). 즉, 해밀토니언 함수 ${\displaystyle H_{0}(I)}$는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에 의존하지 않는다. 이 계의 운동 방정식은

${\displaystyle {\dot {I}}^{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}=\omega _{ij}I^{j}}$

이며, 따라서 ${\displaystyle I^{i}}$들은 운동 상수이며, 계의 ${\displaystyle \theta _{i}}$에 대한 주기는 ${\displaystyle 1/(2\pi \omega _{ij}I^{j})}$이다. 만약 ${\displaystyle I^{i}}$들의 비가 유리수라면 이는 해밀턴 방정식의 주기적 해를 이루며, 무리수라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적(영어: quasiperiodic) 해를 이룬다. 각 ${\displaystyle (I^{1},\dots ,I^{n})}$에 대응하는 ${\displaystyle n}$차원 원환면을 불변 원환면(영어: invariant torus)이라고 한다.

이제, 해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 주자.

${\displaystyle H(I,\theta )=H_{0}(I)+V(I,\theta )}$

그렇다면, 만약 ${\displaystyle V}$가 충분히 작다면 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 물을 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리는 이 문제에 대한 해답을 제공한다.

구체적으로, 임의의 벡터 ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 ${\displaystyle a,b>0}$가 존재한다면, ${\displaystyle v}$가 디오판토스 벡터(영어: Diophantine vector)라고 하자.

${\displaystyle \forall \mathbf {u} \in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}\colon |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\geq a\left(|u_{1}|+\cdots +|u_{n}|\right)^{-b}}$

르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터가 디오판토스 벡터임을 보일 수 있다.

콜모고로프-아르놀트-모저 정리에 따르면, 만약 임의의 ${\displaystyle (I^{0},\dots ,I^{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여

• ${\displaystyle \omega _{ij}I^{j}}$가 디오판토스 벡터이며,
• 헤세 행렬 ${\displaystyle \partial ^{2}H_{0}/\partial I^{i}\partial I^{j}}$이 가역 행렬이라면,

충분히 작은 ${\displaystyle V}$에 대하여, 섭동된 해밀토니언 ${\displaystyle H=H_{0}+V}$에 대하여 주기가 ${\displaystyle \omega _{ij}I^{j}}$인 준주기적 해가 존재한다. (만약 ${\displaystyle H_{0}}$에 대한 해가 주기적이더라도, ${\displaystyle H}$에 대한 해는 일반적으로 준주기적이다.)

여기서 "충분히 작은 ${\displaystyle V}$에 대하여"는 구체적으로 다음과 같은 뜻이다.

${\displaystyle V\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle V\colon (I^{i},\theta _{i})\mapsto V(I,\theta )}$

가 ${\displaystyle \{(I^{1},\dots ,I^{n})\}\times \mathbb {R} ^{n}}$의 복소수 닫힌 근방

${\displaystyle \{(I^{1},\dots ,I^{n})\}\times \mathbb {R} ^{n}\subset U\subset {\bar {U}}\subset \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}$

으로 해석적 연속될 수 있다고 하고,

${\displaystyle \|V\|=\sup _{x\in {\bar {U}}}|V(x)|}$

라고 할 때, ${\displaystyle \|V\|<\epsilon (a,b)}$이라면 ${\displaystyle (a,b)}$-디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon (a,b)\in \mathbb {R} ^{+}}$이 존재한다. (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 ${\displaystyle (a,b)}$에 의존한다.)

역사

안드레이 콜모고로프^[1] · 블라디미르 아르놀트^[2] · 위르겐 모저^[3] 가 증명하였다.

같이 보기

• 에르고딕 이론