완화자

수학에서 완화자는 분포 이론에서 합성곱으로 매끄럽지 않은 (일반화된) 함수를 근사해 매끄러운 함수의 수열을 만들 때 쓰이는 매끄러운 함수이다. 직관적으로 주어진 불규칙한 함수가 완화자로 합성곱을 취한 함수는 "완화"된 것이다. 즉 원래의 매끄럽지않은 (일반화된) 함수화 가까우면서 그 날카로운 특징이 매끄러워질 것이다.^[1] 이것을 만든 커트 오토 프리드리히(Kurt Otto Friedrichs) 이후 프리드리히 완화자로 불리게 되었다.^[2]

일 차원의 완화자이다(위쪽). 아래는 빨간색은 꺽인 점(왼쪽)과 뾰족한 도약(오른쪽)이 있는 함수이고, 파란색은 완화된 형태이다.

역사적 메모

완화자는 편미분방정식의 고전적인 이론의 분기점으로 불리는 커트 오토 프리드리히의 논문 (Friedrichs 1944, pp. 136–139)에서 알려졌다.^[3] 이 수학적 대상의 이름은 기이한 기원을 가지고 있다: 럭스 페테르는 이 이름에 관한 이야기를 그의 주석(Friedrichs 1986, volume 1, p. 117)에서 밝혔다. 럭스에 의하면, 그 때에 수학자 도날드 알렉산더 플랜더스는 프리드리히의 동료였다: 그는 영어 사용에 관하여 조언하는 것을 즐겨했기 때문에 그는 플랜더스에게 자신이 사용하는 매끄럽게 하는 연산자의 이름에 관하여 조언을 구했다. 플랜더스는 청도교였기 때문에 그의 친구 Moll이 그의 도덕적 자질을 인정받아 몰 플랜더스(Moll Flanders)라는 이름을 얻게 되었다: 따라서 그는 두 플랜더스의 새로운 이름과 동사'완화하다'(to mollify)를 결합한 말장난으로 새로운 수학적 개념을 "mollifier" 라고 이름붙였다. 이는 비유적으로 '매끄럽게 하다'라는 의미를 가진다.^[4]

이전에 세르게이 리보비치 소볼레프가 완화자를 그의 1938년에 논문에 사용했다.^[5] 그 논문은 소볼레프 내장 정리의 증명을 포함한다: Friedrichs (1953, 196쪽) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1953 (help)는 스스로 완화자를 처음 소개한것은 소블레프의 업적이였음을 인정했다:-"이 완화자는 소볼라프와 그 저자에 의해서 소개되었다...".

완화자의 개념에 약간의 오해가 있음을 지적해야 한다: 프리드리히는 "완화자"를 그 커널이 지금 완화자라고 하는 함수의 일종인 적분 연산자라고 정의했다. 하지만 그 선형 적분의 특성은 그 커널에 의해 완전히 결정되었기 때문에 완화자라는 이름은 일반적으로 많이 사용되는 커널이 물려받게 되었다.

정의

점진적인 완화를 거치고 있는 함수이다.

현대적(분포 기반) 정의

Definition 1. 만약 ${\displaystyle \varphi }$ 가 ℝⁿ, n ≥ 1에서 다음의 세 조건을 만족하는 매끄러운 함수라면

(1)   콤팩트 지지집합을 가지고 있어야 한다^[6]

(2)  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

여기서 ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$는 완화자이다. 함수 ${\displaystyle \varphi }$ 는 또한 다음의 조건들을 만족할 수 있다:^[7] 예를 들어 이것이 다음을 만족한다면

(4)   모든 x ∈ ℝⁿ,에 대해서 \varphi (x) ≥ 0 라면 이것은 양의 완화자라고 불린다

(5)   어떤 무한히 미분가능한 함수 ${\displaystyle \mu }$ : ℝ⁺ → ℝ에 대하여 \varphi (x)=\mu (|x|)라면 이것은 대칭 완화자라고 불린다

프리드리히의 정의에 대한 주석

주 1. 분포 이론이 여전히 넓게 알려지지도 사용되지도 않았을 때,^[8] 위의 특징 (3)은 함수 ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$와 적절한 힐베르트나 바나흐 공간에 속해 있는 주어진 함수의 합성곱이 마지막에 ε → 0으로 수렴한다고 말함으로써 얻어졌다:^[9] 이것이 정확히 프리드리히가 한 것이다.^[10] 이것은 또한 완화자가 왜 approximate identities와 관계가 있는지를 명확히한다.^[11]

주 2. 이 문서의 "역사적 메모"에서 간략히 설명했듯이 용어 "완화자"는 다음의 합성곱 연산자를 정의하는 것이였다:^[12]

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

여기서 ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ 이고 ${\displaystyle \varphi }$는 위에서 기술한 처음 세 조건을 만족하고 하나 이상의 추가조건을 만족하는 매끄러운 함수이다.

구체적인 예

다음과 같이 정의된 ℝⁿ 에서 변수를 갖는 함수 ${\displaystyle \varphi (x)}$를 생각해보자

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$

여기서 수치적 상수 ${\displaystyle I_{n}}$은 정상화를 보장한다. 이것은 쉽게 이 함수가 무한히 미분가능하고, 비 해석적이며 미분계수가 |x| = 1에서 0이 되는 것을 볼 수 있다. ${\displaystyle \varphi }$는 따라서 위에서 서술한대로 완화자로 사용할 수 있다: 이것은 또한 쉽게 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$가 양이면서 대칭인 완화자임을 볼 수 있다.^[13]

일 차원에서 함수 ${\displaystyle \varphi (x)}$

특성

완화자의 모든 속성은 합성곱의 연산의 행태와 관련되어 있다: 다음은 분포 이론의 내용에서 찾을 수 있는 모든 증명의 목록이다.^[14]

매끄럽게하기 속성

어떤 분포 ${\displaystyle T}$에 대해 실수 ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

여기서 ${\displaystyle \ast }$ 합성곱이며, 이것은 매끄러운 함수이다.

Approximation of identity

어떤 분포 ${\displaystyle T}$에 대하여 실수 ${\displaystyle \epsilon }$ 의 지표를 갖는 다음의 합성곱은 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

합성곱의 지지

어떤 분포 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm {supp} }$은 분포의 의미에서 지지를 나타내며, ${\displaystyle +}$ 는 민코프스키 덧셈을 나타낸다.

적용

완화자의 기본적인 적용은 매끄러운 함수에 유효한 특성들이 매끄럽지 않은 경우에도 유효한지 증명하는 것이다:

분포의 결과

일부 일반화된 함수의 이론에서, 완화자는 분포의 곱셈을 정의하는데 사용된다: 정확하게, ${\displaystyle S}$와 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

은 다양한 일반화된 함수의 이론에서 그 생산물을 (만약 존재한다면)정의한다.

"약=강" 이론

매우 비공식적으로 완화자는 두 다른 종류의 미분연산자의 확장의 특성을 증명하는데 사용된다: 강한 확장과 약한 확장. 논문 (Friedrichs 1944)은 이 개념을 꽤 잘 나타낸다: 하지만  이것이 진정으로 무엇을 의미하는지를 서술하기 위해서 많은 기술적 상세기술이 필요하나 이 짧은 설명에서는 정식으로 설명할 수 없다.

매끄러운 절단 함수

단위 구 ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$의 특성 함수와 매끄러운 함수 ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$ ((3)에서 ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2}$)의 합성곱을 통해 다음의 함수를 얻는다.

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$

이것은 ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$. T이것은 ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$이고 ${\displaystyle |y|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle |x-y|}$ ≤ ${\displaystyle 1}$ 따라서 ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

이 생성이 주어진 컴팩트 집합의 근방에서 동일한 매끄러운 함수를 얻기 위해 어떻게 일반화 될 수 있는지, 그리고이 집합까지의 거리가 주어진 ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon }$.^[15] 이런 함수는 (매끄러운) 절단 함수라고 불린다: 이 함수들은 곱셈을 통해 주어진 (일반화된) 함수의 특이점을 제거하는데 쓰인다. 이것은 주어진 집합에서만 곱해져서 (일반화된) 함수의 값에서 바뀌지 않은 값이 나온다 따라서 이는 지지를 수정한다: 또한 절단 함수는 매끄러운 단위 분할의 기본적인 부분이다.

같이 보기

• Approximate identity
• 비 해석적 매끄러운 함수
• 범프 함수
• 합성곱
• 바이어슈트라스 변환
• 분포 (해석학)
• 커트 오토 프레드릭
• 일반화된 함수
• 세르게이 리보비치 소볼레프

각주

1. Respect to the topology of the given space of generalized functions.
2. See (Friedrichs 1944, 136–139쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help).
3. See the commentary of Peter Lax to the paper (Friedrichs 1944) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help) in (Friedrichs 1986, volume 1, p. 117) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1986 (help).
4. Lax (Friedrichs 1986, volume 1, p. 117) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1986 (help) writes precisely that:-"On English usage Friedrichs liked to consult his friend and colleague, Donald Flanders, a descendant of puritans and a puritan himself, with the highest standard of his own conduct, noncensorious towards others.
5. See (Sobolev 1938) harv error: 대상 없음: CITEREFSobolev1938 (help).
6. Such as a bump function
7. See (Giusti 1984, 11쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFGiusti1984 (help).
8. As when the paper (Friedrichs 1944) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help) was published, few years before Laurent Schwartz widespread his work.
9. Obviously the topology with respect to convergence occurs is the one of the Hilbert or Banach space considered.
10. See (Friedrichs 1944, 136–138쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help), properties PI, PII, PIII and their consequence PIII₀.
11. Also, in this respect, Friedrichs (1944, 132쪽) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help) says:-"The main tool for the proof is a certain class of smoothing operators approximating unity, the "mollifiers".
12. See (Friedrichs 1944, 137쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFFriedrichs1944 (help), paragraph 2, "Integral operators".
13. See (Hörmander 1990, 14쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFHörmander1990 (help), lemma 1.2.3.: the example is stated in implicit form by first defining f(t) = exp(-1/t) for t ∈ ℝ⁺, and then considering f(x) = f (1-|x|²) = exp(-1/(1-|x|²)) for x ∈ ℝⁿ.
14. See for example (Hörmander 1990) harv error: 대상 없음: CITEREFHörmander1990 (help).
15. A proof of this fact can be found in (Hörmander 1990, 25쪽) harv error: 대상 없음: CITEREFHörmander1990 (help), Theorem 1.4.1.

참고 자료

• Friedrichs, Kurt Otto (January 1944), “The identity of weak and strong extensions of differential operators”, 《Transactions of the American Mathematical Society》 55 (1): 132–151, doi:10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0, JSTOR 1990143, MR 0009701, Zbl 0061.26201. The first paper where mollifiers were introduced.
• Friedrichs, Kurt Otto (1953), “On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations”, 《Communications on Pure and Applied Mathematics》 VI (3): 299–326, doi:10.1002/cpa.3160060301, MR 0058828, Zbl 0051.32703, 2013년 1월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서, 2017년 8월 8일에 확인함. A paper where the differentiability of solutions of elliptic partial differential equations is investigated by using mollifiers.
• Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S., 편집., 《Selecta》, Contemporary Mathematicians, Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, 427 (Vol. 1); pp. 608 (Vol. 2)쪽, ISBN 0-8176-3270-0, Zbl 0613.01020. A selection from Friedrichs' works with a biography and commentaries of David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
• Giusti, Enrico (1984), 《Minimal surfaces and functions of bounded variations》, Monographs in Mathematics 80, Basel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, xii+240쪽, ISBN 0-8176-3153-4, MR 0775682, Zbl 0545.49018.
• Hörmander, Lars (1990), 《The analysis of linear partial differential operators I》, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft 256 2판, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136, Zbl 0712.35001.
• Sobolev, Sergei L. (1938), “Sur un théorème d'analyse fonctionnelle”, 《Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)》 (러시아어프랑스어), 4(46) (3): 471–497, Zbl 0022.14803. The paper where Sergei Sobolev proved his embedding theorem, introducing and using integral operators very similar to mollifiers, without naming them.