Y-Δ 변환

Y-Δ 변환(Y-Δ transform, wye-delta transform) 또는 T-Π 변환(T-Π transform, star-pi transform)은 전기 회로 분석을 간단하게 할 수 있는 수학적 기술 중 하나이다. 이 변환의 이름은 분석하고자 하는 회로도 모양이 각각 알파벳 Y와 그리스 문자 Δ(델타)로 보인 것에서 따왔다. 이 회로 변환은 1899년 아서 에드윈 케넬리가 처음 발표하였다.^[1] 이 변환은 오늘날 3상전력 회로 분석에서 광범위하게 사용된다.

Y-Δ 변환은 3개의 저항기가 달린, 스타-매쉬 변환의 특수해라고 볼 수도 있다. 수학에서 Y-Δ 변환은 평면 그래프 이론 해석에서 중요한 역할을 한다.^[2]

명칭

T-Π 변환을 보여주는 그림

Y-Δ 변환은 많은 다른 이름으로도 알려져 있는데, 주로 2가지 모양을 따와서 이름이 붙여있다. 하나는 Y를 T(또는 star)로 바꿔 부르거나, Δ(델타)를 삼각형 또는 Π(그리스 문자 파이), 매쉬로 바꿔서 부른다. 보통은 이 변환 이름을 와이-델타, 델타-와이, 티-파이, 파이-티 변환 4가지로 부른다.

기초 변환

이 글에서 사용되는 Δ 및 Y 회로

이 변환은 3개의 선으로 연결된 서로 다른 모양의 회로망이 실제로는 같은 것임을 보여준다. 3개의 말단부 공통 노드에 전력을 공급하는 능동소자가 하나도 없을 경우, 임피던스 변환을 통해 노드를 없앨 수 있다. 회로가 등가임을 보이기 위하여 두 회로망의 양 끝단 사이 총 임피던스는 항상 같아야 한다. 여기에 주어진 방정식은 실제로 복잡한 임피던스일 경우에도 해당된다.

Δ에서 Y로의 변환

Y 회로의 양단 임피던스 ${\displaystyle R_{y}}$은 Δ 회로에서의 인접 노드로의 임피던스 ${\displaystyle R'}$, ${\displaystyle R''}$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

여기서 ${\displaystyle R_{\Delta }}$는 Δ 회로에서의 모든 임피던스이다. 이 식을 통하여 각각의 임피던스를 구하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{2}&={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{3}&={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}}$

Y에서 Δ로의 변환

Δ 회로에서 임피던스 ${\displaystyle R_{\Delta }}$를 구하는 식은 다음과 같다.

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}$

여기서 ${\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}$은 Y 회로에서 모든 임피던스 쌍의 곱의 합이며, ${\displaystyle R_{\mathrm {opposite} }}$는 ${\displaystyle R_{\Delta }}$와 정 반대에 있는 양 끝단의 Y 회로의 노드 임피던스이다. 이를 통해 구한 각각의 모서리의 임피던스는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\R_{b}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\R_{c}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}$

변환의 존재성과 유일성 증명

이 변환의 존재성은 회로 이론의 중첩 정리를 통해 보일 수 있다. 더욱 일반화한 스타-매쉬 변환에서 유도하는 것 보다는 더 짧게 증명할 수 있다. 두 회로가 동등함은 3개 노드(${\displaystyle N_{1},N_{2},N_{3}}$)의 외부 전압(${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$)과 그에 대응하는 전류(${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$)가 Y 회로에서 Δ 회로로, 또는 그 반대로 넘어가도 같음을 보여 증명할 수 있다. 이 증명을 위하여 노드에 주어진 외부 전류를 통해 이를 계산할 것이다. 중첩정리에 따르면, 3개 노드의 전류를 이용하여 3가지 노드 방정식에서 전압의 선형 합을 통해 총 전압을 구할 수 있다.

(1) ${\displaystyle (I_{1}-I_{2})/3,-(I_{1}-I_{2})/3,0}$

(2) ${\displaystyle 0,(I_{2}-I_{3})/3,-(I_{2}-I_{3})/3}$

(3) ${\displaystyle -(I_{3}-I_{1})/3,0,(I_{3}-I_{1})/3}$

여기서 키르히호프의 전기회로 법칙에 따라 ${\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}=0}$이다. 이 회로망에는 이상 전류원이 하나만 있기 때문에 각 방정식을 푸는 것은 간단하다. 각 상황에서 양 노드의 전압이 서로 동일하게 될려면 두 회로의 등가저항이 같아야 하는데, 이는 직렬 회로와 병렬 회로의 기초 법칙을 이용해 증명할 수 있다.

${\displaystyle R_{3}+R_{1}={\frac {(R_{c}+R_{a})R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}},}$ ${\displaystyle {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}}{R_{c}}}.}$

6개의 방정식은 3개의 다른 변수 ${\displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}}$로 알고자 하는 변수 ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}}$를 나타내기 충분하나, 이 방정식이 실제 위에 나타낸 것처럼 나타낼 수 있다는 걸 보이는 건 간단하다. 실제로, 중첩정리를 통하여 저항 값 사이의 관계를 보일 수 있을 뿐 아니라, 이 해가 유일함도 보장한다.

회로망의 간단화

2개의 단말부가 있는 저항 회로는 이론적으로 1개의 등가저항을 가진 회로로 간단하게 변환할 수 있다. 직렬 및 병렬 변환은 간단화를 위한 가장 기초적인 도구이나 이 문서에 쓰여 있는 브릿지와 같은 복잡한 회로에는 적용하기 어렵다.

Y-Δ 변환을 이용하여 아래의 그림과 같이 한번에 1개의 노드를 없애고 더 간단한 회로망을 만들 수 있다.

브릿지 저항회로에서 노드 D를 없애기 위해 Y-Δ 변환을 사용하여 더 단순한 회로망으로 바꾼 모습

노드를 추가하는 Δ-Y 변환 같은 경우에는 직병렬 등으로 더욱 회로 선을 단순화할 수 있도록 해준다.

브릿지 저항회로에서, Δ-Y 변환을 이용하여 회로를 간단하게 바꾸는 모습

평면 그래프 모양의 모든 2극 회로망은 직병렬 변환,Δ-Y 변환, Y-Δ 변환을 이용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 바꿀 수 있다.^[3] 하지만, 원환면 모양으로 정사각형 회로가 서로 이어져 있는 형태이거나, 페테르센 족 모양과 같이 평면이 아닌 모양의 회로망은 Y-Δ 변환을 사용하여 단일 등가저항을 가진 회로로 단순화할 수 없는 경우가 존재한다.

그래프 이론

그래프 이론에서 Y-Δ 변환이란 한 그래프 내의 Y 부분 그래프를 등가의 Δ 부분 그래프로 변환하는 작업을 의미한다. 이 변환은 그래프의 변 수는 그대로이나, 꼭짓점의 수나 순환의 수는 달라질 수 있다. 두 그래프가 한 그래프에서 Y-Δ 변환을 통해 다른 그래프로 모양을 바꿀 수 있다면 이 두 그래프는 Y-Δ 등가라고 부른다. 예를 들어, 페테르센 족은 Y-Δ 동치관계이다.

예시

Δ에서 Y로의 변환

이 글에서 사용할 Δ 회로와 Y 회로

Δ 회로에서의 ${\displaystyle \{R_{a},R_{b},R_{c}\}}$를 Y 회로의 ${\displaystyle \{R_{1},R_{2},R_{3}\}}$로 바꾸기 위해, 두 회로에 대응되는 임피던스를 비교하자. 어느 회로에서든 임피던스는 회로에서 노드 중 하나가 끊어진 것과 같이 생각한 상태에서 결정된다.

Δ 회로에서 N₃이 끊어진 상태에서 N₁과 N₂ 사이의 임피던스는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{c}\parallel (R_{a}+R_{b})\\&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{c}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{b}}}}}\\&={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}}$

식을 간단하게 하기 위해, ${\displaystyle \{R_{a},R_{b},R_{c}\}}$를 ${\displaystyle R_{T}}$라고 정의하자.

${\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}$

따라서,

${\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}$

Y 회로에서 N₁과 N₂ 사이에 대응되는 임피던스를 구하는 법은 간단하다.

${\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}$

그러므로,

${\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}$   (1)

위의 계산식을 통하여, ${\displaystyle R(N_{2},N_{3})}$의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}$   (2)

${\displaystyle R(N_{1},N_{3})}$의 값은 다음과 같다.

${\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}.}$   (3)

여기서, 위 3개 방정식의 선형 계산(더하기/빼기)을 통하여 ${\displaystyle \{R_{1},R_{2},R_{3}\}}$를 구할 수 있다.

예를 들어, (1) 식과 (3) 식을 더한 후 (2) 식을 빼면 다음과 같다.

${\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}+{\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}$

${\displaystyle 2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$

따라서,

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}.}$

여기서, ${\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}$이다.

식을 정리하면 다음과 같다.

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$ (4)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}$ (5)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}$ (6)

Y에서 Δ로의 변환

식을 간단하게 하기 위해 다음과 같은 가정을 하자.

${\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}$.

여기서 우리는 Δ 회로에서 Y 회로로 변환하는 방정식을 다음과 같이 세울 수 있다.

${\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$   (1)

${\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}$   (2)

${\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}.}$   (3)

3개 방정식을 두개씩 묶어 서로 곱해주면 다음과 같다.

${\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}$   (4)

${\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}$   (5)

${\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}$   (6)

여기서, 3개 방정식을 다 더하면 다음과 같다.

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}+R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}$   (7)

여기서 우변 분자의 ${\displaystyle R_{a}R_{b}R_{c}}$를 묶어서 ${\displaystyle R_{T}}$를 밖으로 빼면 분모의 ${\displaystyle R_{T}}$와 나눌 수 있다.

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$ (8)

(8)의 식과 {(1),(2),(3)} 식은 서로 유사하다.

(8)을 (1)로 나누면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{b}R_{c}}},}$

${\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{a},}$

이 식은 ${\displaystyle R_{a}}$ 값에 대한 식이다. (8) 식을 (2)나 (3)으로 나누면 ${\displaystyle R_{b}}$와 ${\displaystyle R_{c}}$를 구할 수 있다.

같이 보기

• 스타-매쉬 변환
• 회로 이론
• 전기 회로, 단상 전력, 교류, 3상전력, 다상 시스템
• 교류 전동기
• 니콜라 테슬라
• 존 홉킨슨
• 미하일 돌리보도브로볼스키
• 찰스 프로테우스 스타인메츠

각주

1. A.E. Kennelly, "Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413–414, 1899.
2. E.B. Curtis, D. Ingerman, J.A. Morrow, Circular planar graphs and resistor networks, Linear Algebra and its Applications, vol. 238, pp. 115–150, 1998.
3. Klaus Truemper. On the delta-wye reduction for planar graphs. J. Graph Theory 13(2):141–148, 1989.

참고 문헌

• William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4

외부 링크

• Star-Triangle Conversion Archived 2009년 8월 30일 - 웨이백 머신: Knowledge on resistive networks and resistors
• Calculator of Star-Triangle transform