히친 계

수학과 물리학에서 히친 계(Hitchin system)는 양-밀스 이론의 순간자를 수학화한 적분가능계이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 곡면 ${\displaystyle M}$
• 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle G}$-정칙 벡터 다발 (${\displaystyle G}$-주다발의 연관 벡터 다발) ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$
• ${\displaystyle E}$의 벡터 다발 접속 ${\displaystyle \nabla _{A}}$. 그 곡률을 ${\displaystyle F=\mathrm {d} A+A\wedge A}$라고 하자.
• ${\displaystyle M}$ 위의 (1,0)차 복소수 미분 형식 ${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{1,0}(M)\otimes {\mathfrak {lie}}(G)}$. 이를 힉스 장이라고 한다.

그렇다면 히친 방정식(영어: Hitchin equation)은 다음과 같다.

${\displaystyle F_{A}+[\Phi \wedge \Phi ]=0}$

${\displaystyle d_{A}\Phi =0}$.

여기서 ${\displaystyle d_{A}=d+A\wedge }$는 공변 미분이고, ${\displaystyle *}$는 호지 쌍대이다.

여기서, ${\displaystyle F+\Phi +\Phi ^{*}}$는 ${\displaystyle G^{\mathbb {C} }}$-주다발의 주접속으로 해석할 수 있다. 이렇게 생각하면, 히친 방정식은 ${\displaystyle G^{\mathbb {C} }}$-주다발 주접속이 평탄 주접속임을 나타낸다.

히친 방정식을 만족시키는 데이터 ${\displaystyle (A,\Phi )}$를 히친 쌍(영어: Hitchen pair)이라고 한다. 히친 쌍의 공간은 안정 ${\displaystyle G}$-벡터 다발들의 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\Sigma ,G)}$의 공변접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}{\mathcal {N}}(\Sigma ,G)}$과 표준적으로 동형이며, 따라서 심플렉틱 다양체를 이룬다.

이제, ${\displaystyle G}$의 임의의 ${\displaystyle k}$차 불변 다항식 ${\displaystyle p\colon {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$을 생각하자. 그렇다면,

${\displaystyle p(\Phi )\in \operatorname {H} ^{0}(K^{k})}$

를 취할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle M}$의 (1,0)차 복소수 미분 형식의 복소수 선다발(즉, 표준 선다발)이다. 따라서, 복소수 벡터 공간

${\displaystyle \bigoplus _{k\in \mathbb {N} }\operatorname {H} ^{0}(K^{k})}$

의 임의의 기저를 취하면, ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}{\mathcal {N}}(\Sigma ,G)}$ 위의 일련의 함수들을 정의할 수 있다. 이러한 함수의 수는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\Sigma ,G)}$의 차원과 같으며, 이들은 또한 푸아송 괄호 아래 서로 가환한다. 따라서, 이를 해밀토니언들로 삼았을 때, 이는 적분가능계를 이룬다. 이 적분가능계를 히친 계라고 한다.

역사

나이절 히친이 1987년 도입하였다.^[1][2]

같이 보기

• 양-밀스 방정식