추이적 모형

집합론에서 추이적 모형(推移的模型, 영어: transitive model)은 내부적 포함 관계가 외부적 포함 관계와 같은, 추이적 집합 위에 정의된 집합론 모형이다.

정의

집합론의 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$은 하나의 이항 관계 ${\displaystyle \in }$만을 갖는 언어이다. 이 언어의 구조 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle {\tilde {\in }}}$ (내적인 연산)이 ${\displaystyle \in }$ (외적인 연산)과 일치한다면, ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$이 표준 구조(標準構造, 영어: standard structure)라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$의 표준 구조 ${\displaystyle M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M}$이 추이적 집합이라면, ${\displaystyle M}$을 추이적 표준 구조(推移的標準構造, 영어: transitive standard structure)라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$의 구조 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$에서, 만약 ${\displaystyle {\tilde {\in }}}$이 정초 관계라면, ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$을 정초 구조(整礎-, 영어: well founded structure)라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$의 구조 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 확장적 구조(영어: extensional structure)라고 한다.

${\displaystyle M\models \forall x\forall y\left(\left(\forall z\colon z\in x\iff z\in y\right)\iff x=y\right)}$

즉, ${\displaystyle M}$에서 체르멜로-프렝켈 집합론의 확장 공리가 성립해야 한다.

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성을 함의하지만, 그 반대 함의는 성립하지 않는다.

그로텐디크 전체는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형이다. 그러나 그로텐디크 전체는 모든 원소의 멱집합을 포함하여야 하므로, 이는 추이적 모형보다 더 강한 개념이다.

정초 구조의 개념은 절대적이지 않으며, 외적인 개념이다. 구체적으로, 다음과 같은 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$-문장 ${\displaystyle {\mathsf {AF}}}$를 생각하자. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리이다.)

${\displaystyle \forall y\exists x\in y\colon x\cap y=\varnothing }$

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \forall y\exists x\left(x\in y\land \forall z\colon \lnot (z\in x\land z\in y)\right)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$의 구조 ${\displaystyle M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M}$이 정초 구조라면 ${\displaystyle M\models {\mathsf {AF}}}$이지만, 반대 방향의 함의는 성립하지 않는다.

모스토프스키 붕괴

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$의 구조 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 정초 구조이다.
• 확장적 구조이다.

그렇다면, 모스토프스키 붕괴 정리(Mostowski崩壞定理, 영어: Mostowski collapse theorem)에 따르면, ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$은 추이적 표준 구조 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$과 동형이다. 또한, 이러한 동형은 유일하다. 구체적으로, 이 동형 ${\displaystyle \pi \colon M\to {\tilde {M}}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {M}}=\left\{\{\pi (y)\colon y\in M,\;y\,{\tilde {\in }}\,x\}\colon x\in M\right\}}$

${\displaystyle \pi \colon x\in M\mapsto \{\pi (y)\colon y\in M,\;y\,{\tilde {\in }}\,x\}\in {\tilde {M}}}$

재귀적인 정의이지만, 정초 관계 조건에 따라서 이는 잘 정의된 대상이다.

따라서, 정초 확장적 구조들의 각 동형류는 추이적 집합을 표준적인 대표원으로 갖는다.

예

도달 불가능한 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 폰 노이만 전체의 단계 ${\displaystyle V_{\kappa }}$는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 표준 모형이다.

홀수의 전순서 집합 ${\displaystyle (\{1,3,5,\dots \},\leq )}$를 생각해 보자. 이는 모스토프스키 붕괴 정리에 의하여, 이는

${\displaystyle \left\{0=\varnothing ,1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\dots \right\}}$

로 대응된다. 이는 순서수의 폰 노이만 정의이므로, 홀수의 전순서 집합이 모든 자연수의 완전 순서 집합으로 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

역사

모스토프스키 붕괴 정리는 폴란드의 수학자 안드제이 모스토프스키(Andrzej Mostowski)가 증명하였다.^[1]

각주

1. Mostowski, Andrzej (1949). “An undecidable arithmetical statement”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 36. ISSN 0016-2736. Zbl 0039.00802.

외부 링크

• “Mostowski's collapsing lemma”. 《nLab》 (영어).
• “Transitive ZFC model”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2015년 3월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 2일에 확인함.
• “Definition: standard transitive model”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Is the Mostowski collapse natural?” (영어). Math Overflow.