체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.^[1][2]

정의

(실수 ${\displaystyle n}$차 일계수 다항식의 집합을 ${\displaystyle \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}$로 적자.)

실수 ${\displaystyle n}$차 다항식 ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}\in \mathbb {R} [x]}$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}}$을 ${\displaystyle n}$차 체비쇼프 다항식이라고 한다.

• (재귀적 정의) ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}(x)=2x\operatorname {T} _{n-1}(x)-\operatorname {T} _{n-2}(x)}$이며, ${\displaystyle \operatorname {T} _{0}(x)=1}$이며, ${\displaystyle \operatorname {T} _{1}(x)=x}$이다.
• (삼각 함수 정의) 항등식 ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}(\cos \theta )=\cos n\theta }$가 성립한다.
• ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}}$은 ${\displaystyle (-1,1)}$에서 서로 다른 ${\displaystyle n}$개 실근을 가지며, ${\displaystyle [-1,1]}$에서 절댓값이 서로 같은 ${\displaystyle n+1}$개 극값을 갖는다.
• (최소 상한 노름)${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|}$

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 ${\displaystyle \cos nx}$가 ${\displaystyle \cos x}$의 ${\displaystyle n}$차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 ${\displaystyle \cos nx}$, 우변의 실수부는, ${\displaystyle \cos x}$와 ${\displaystyle \sin ^{2}x}$의 다항식이다.

성질

직교성

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 ${\displaystyle [-1,1]}$에서 직교한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\operatorname {T} _{n}(x)\operatorname {T} _{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)}$

대칭

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

${\displaystyle \operatorname {T} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} _{n}(x)}$

근

${\displaystyle n}$차 체비쇼프 다항식 ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}}$은 닫힌구간 ${\displaystyle [-1,1]}$ 속에서 ${\displaystyle n}$개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

${\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})}$

분지점

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

${\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}$

로 여길 때, ${\displaystyle n>0}$의 경우 다음이 성립한다.

• 분지점에서의 값들은 모두 ${\displaystyle \pm 1}$ 또는 ${\displaystyle {\widehat {\infty }}}$이다.
• 값이 ${\displaystyle \pm 1}$인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
• ${\displaystyle {\widehat {\infty }}}$의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)

예를 들어,

${\displaystyle \operatorname {T} _{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1}$

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 ${\displaystyle x\in \{0,{\widehat {\infty }}\}}$를 가지며, 그 값은 ${\displaystyle \operatorname {T} _{2}(0)=-1}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {T} _{2}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}}$이다. 마찬가지로,

${\displaystyle \operatorname {T} _{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1}$

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 ${\displaystyle x\in \{-1/2,1/2\}}$ 및 분지 지표 3의 분지점 ${\displaystyle x={\widehat {\infty }}}$를 가지며, 그 값은 각각 ${\displaystyle \operatorname {T} _{3}(\pm 1/2)=\mp 1}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {T} _{3}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}}$이다.

이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}$는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 ${\displaystyle n+1}$개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.

예

낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {T} _{0}(x)&=1\\\operatorname {T} _{1}(x)&=x\\\operatorname {T} _{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} _{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} _{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} _{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} _{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} _{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} _{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} _{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} _{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} _{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}$

역사

파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.^[3]

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T_n는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.

같이 보기

• 르장드르 다항식
• 라게르 다항식
• 에르미트 다항식

각주

1. Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5.
2. Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036114. ISBN 978-0-8493-0355-5.
3. Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7: 539–586.

외부 링크

• 위키미디어 공용에 체비쇼프 다항식 관련 미디어 분류가 있습니다.
• “Chebyshev polynomials”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev polynomials of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev polynomials of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev approximation formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• 이철희. “체비셰프 다항식”. 《수학노트》.
• Sarra, Scott A. (2005년 3월 1일). “Chebyshev Interpolation: an interactive tour” (영어). 2017년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 19일에 확인함.
• “Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?” (영어). Math Overflow. 2017년 4월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 19일에 확인함.