나무 그래프

그래프 이론에서 나무 그래프(영어: tree graph 트리 그래프^[*]) 또는 단순히 나무는 순환을 갖지 않는 연결 그래프이다.

정의

그래프 ${\displaystyle T}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 그래프 ${\displaystyle T}$를 숲 그래프(영어: forest graph 포리스트 그래프^[*])이라고 한다.

• ${\displaystyle T}$는 (길이 3 이상의) 순환을 갖지 않는다.
• 임의의 두 꼭짓점 ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \operatorname {V} (T)}$에 대하여, ${\displaystyle v_{1}}$과 ${\displaystyle v_{2}}$ 사이의 경로의 수는 1 이하이다.
• ${\displaystyle T}$는 완전 그래프 ${\displaystyle K_{3}}$를 마이너로 갖지 않는다.
• ${\displaystyle T}$는 단일 연결 공간이다. (즉, 임의의 밑점 ${\displaystyle v\in \operatorname {V} (T)}$에 대하여, 1차 세포 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(T,v)}$가 자명군이다. 그러나 연결 공간이 아닐 수 있다.)

그래프 ${\displaystyle T}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 그래프 ${\displaystyle T}$를 나무 그래프라고 한다.

• ${\displaystyle T}$는 숲 그래프이며, 연결 그래프이다 (즉, 정확히 1개의 연결 성분을 갖는다).
• 임의의 두 꼭짓점 ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V(T)}$에 대하여, ${\displaystyle v_{1}}$과 ${\displaystyle v_{2}}$ 사이의 경로가 정확히 하나 존재한다.
• ${\displaystyle T}$는 (1차원 세포 복합체로서) 연결 단일 연결 공간이다. (특히, 공집합이 아니다.)
• 하나 이상의 꼭짓점을 가지며, 임의의 변 ${\displaystyle e\in \operatorname {E} (T)}$을 지운 그래프 ${\displaystyle T-e}$는 연결 그래프가 아니다.

나무 그래프 ${\displaystyle T}$의 잎 꼭짓점(영어: leaf vertex 리프 버텍스^[*])은 차수가 1인 꼭짓점이며, 내부 꼭짓점(영어: internal vertex)은 차수가 2 이상인 꼭짓점이다.

성질

숲 그래프 ${\displaystyle T}$에 대하여 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle |\operatorname {V} (T)|=|\operatorname {E} (T)|+|\operatorname {Conn} (T)|}$

여기서

• ${\displaystyle |\operatorname {V} (T)|}$는 ${\displaystyle T}$의 꼭짓점의 수이다.
• ${\displaystyle |\operatorname {E} (T)|}$는 ${\displaystyle T}$의 변의 수이다.
• ${\displaystyle |\operatorname {C} onn(T)|}$는 ${\displaystyle T}$의 연결 성분의 수이다.

특히, 나무 그래프의 경우 하나의 연결 성분을 가지므로, ${\displaystyle |\operatorname {V} (T)|=|\operatorname {E} (T)|+1}$이다.

모든 숲 그래프는 이분 그래프이자 평면 그래프이다.

나무 그래프의 수

${\displaystyle n}$개의 꼭짓점을 갖는 나무 그래프의 동형류의 수는 다음과 같다 (${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$).

1, 1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301, 3159, … (OEIS의 수열 A000055)

${\displaystyle n}$개의 꼭짓점을 갖는 숲 그래프의 동형류의 수는 다음과 같다 (${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$).

1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 37, 76, 153, 329, 710, 1601, 3658, … (OEIS의 수열 A005195)

프뤼퍼 열

유한 나무 그래프 ${\displaystyle T}$의 꼭짓점 집합

${\displaystyle \operatorname {V} (T)}$

에 임의의 정렬 순서를 주고, 그 순서형을 ${\displaystyle n\in \operatorname {Ord} }$이라고 하자.

${\displaystyle T}$에 대하여, 꼭짓점 열

${\displaystyle x_{0},x_{1},\dotsc }$

을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

${\displaystyle x_{i}=\min\{v\in \operatorname {V} (T)\setminus \{x_{j}\}_{j<i}\colon \deg _{T\setminus \{x_{j}\}_{j<i}}v=1\}}$

즉, 다음과 같다.

• 임의의 순서수 ${\displaystyle i<|\operatorname {V} (T)|}$에 대하여, ${\displaystyle x_{i}\in \operatorname {V} (T)}$은 ${\displaystyle T\setminus \{x_{j}\}_{j<i}}$의 잎 꼭짓점 가운데, 정렬 순서에 대하여 최소 원소이다.

유한 나무 그래프의 경우, 이 열은 ${\displaystyle T}$의 모든 꼭짓점을 한 번씩 포함한다. 즉, ${\displaystyle T}$의 꼭짓점 집합 ${\displaystyle \operatorname {V} (T)}$ 위의 또다른 정렬 순서를 정의한다. (반면, 무한 나무 그래프의 경우 이는 그렇지 못할 수 있다.)

또한, 다음과 같은 꼭짓점 열

${\displaystyle y_{0},y_{1},\dotsc }$

을 ${\displaystyle (x_{i})_{i<|\operatorname {V} (T)|}}$로부터 정의할 수 있다.

${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \operatorname {E} (T\setminus \{x_{j}\}_{j<i})}$

즉,

• ${\displaystyle y_{i}}$는 ${\displaystyle T\setminus \{v_{j}\}_{j<i}}$에서 ${\displaystyle x_{i}}$와 인접한 유일한 내부 꼭짓점이다. (만약 이러한 꼭짓점이 존재하지 않는다면, 이 열은 끝나게 된다.)

유한 나무 그래프의 경우, 꼭짓점 열 ${\displaystyle y_{i}}$의 길이는 ${\displaystyle n-1}$인데, 이는 맨 “마지막”의 경우 꼭짓점이 하나 밖에 남지 않기 때문이다.

${\displaystyle (y_{i})}$를 ${\displaystyle T}$의 프뤼퍼 열(Prüfer列, 영어: Prüfer sequence)이라고 한다.

또한, 프뤼퍼 열에 대하여 다음이 성립한다.

유한 나무 그래프	프뤼퍼 열
꼭짓점의 수	프뤼퍼 열의 길이 + 2
변의 수	프뤼퍼 열의 길이 + 1
잎 꼭짓점	프뤼퍼 열에 등장하지 않는 꼭짓점
내부 꼭짓점	프뤼퍼 열에 등장하는 꼭짓점
꼭짓점의 차수	프뤼퍼 열에 등장하는 수 + 1

모든 유한 나무 그래프는 그 프뤼퍼 열로부터 재구성될 수 있다. 이 알고리즘은 대략 다음과 같다.

1. 우선, 각 꼭짓점 ${\displaystyle v}$에 대하여 양의 정수 값의 변수 ${\displaystyle {\mathtt {d}}_{v}}$를, ${\displaystyle v_{i}}$가 프뤼퍼 열에 등장하는 수 + 1로 놓는다.
2. 프뤼퍼 열의 첫째 꼭짓점 ${\displaystyle y_{0}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathsf {d}}_{v}=1}$인 최소의 꼭짓점을 ${\displaystyle v}$라고 하면,
   1. 변 ${\displaystyle (v,a_{v})}$를 그래프에 추가하며,
   2. ${\displaystyle {\mathtt {d}}_{y_{0}}}$과 ${\displaystyle {\mathtt {d}}_{v}}$를 각각 1만큼 감소시킨다.
3. 위 단계를 프뤼퍼 열의 둘째, 셋째 등등 꼭짓점에 대하여 반복한다.
4. 이 과정이 끝나면, ${\displaystyle {\mathtt {d}}_{v}=1}$인 꼭짓점이 두 개 남는다. 이들 사이에 변을 추가한다.
5. 알고리즘 종료.

(반면, 무한 나무 그래프의 경우 이는 일반적으로 불가능하다. 예를 들어, 양쪽 무한 경로 그래프는 나무 그래프이지만, 잎 꼭짓점을 갖지 않아, 프뤼퍼 열이 자명하다.)

케일리 공식

임의의 크기 ${\displaystyle n}$의 유한 집합 ${\displaystyle V}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V}$를 꼭짓점으로 하는 나무 그래프의 수를 ${\displaystyle T_{n}}$이라고 하자. (이 경우, 꼭짓점들이 서로 구별되므로, 이는 나무 그래프의 동형류의 수와 다르다.) 케일리 공식(영어: Cayley’s formula)에 따르면, 이는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle T_{n}=n^{n-2}}$

증명:

꼭짓점 집합 ${\displaystyle V}$에 임의의 정렬 순서를 주자. 그렇다면, ${\displaystyle V}$ 위의 임의의 나무 그래프는 프뤼퍼 열에 유일하게 대응하며, 반대로 모든 프뤼퍼 열은 나무 그래프에 유일하게 대응된다. 프뤼퍼 열의 수는

${\displaystyle n^{n-2}}$

이다.

크기 ${\displaystyle n}$의 유한 집합 위의 숲 그래프의 수는 다음과 같다. (${\displaystyle n=0,1,2,\dotsc }$)

1, 1, 2, 7, 38, 291, 2932, 36961, 561948, 10026505, 205608536, 4767440679, 123373203208, 3525630110107, 110284283006640, 3748357699560961, 137557910094840848, 5421179050350334929, 228359487335194570528, 10239206473040881277575, 486909744862576654283616, … (OEIS의 수열 A1858)

이 자연수열을

${\displaystyle c_{i}}$

라고 표기하면, 그 생성 함수는

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}c_{i}x^{i}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{n-2}{\frac {1}{n!}}x^{n}\right)=1+x+{\frac {1}{2}}(2x^{2})+{\frac {1}{6}}(7x^{3})+\dotsb }$

이다.

증명:

크기 ${\displaystyle N}$의 집합의 분할에서, 크기 ${\displaystyle n}$의 성분의 수가 ${\displaystyle k_{n}}$이라고 하자. 즉,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }nk_{n}=N}$

이다.

이 경우, 주어진 분할을 연결 성분 분할로 갖는 숲 그래프의 수는

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(T_{n})^{k_{n}}}$

이다.

크기 ${\displaystyle N}$의 집합의 경우, 이러한 분할의 수는

${\displaystyle {\binom {N!}{\prod _{n=1}^{\infty }(n!)^{k_{n}}k_{n}!}}}$

이다.

따라서, 생성 함수 ${\displaystyle f(x)}$는 다음과 같은 유한 중복집합에 대한 합으로 나타내어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k\in M}{{x^{|k|}} \over {|k|!}}{{|k|!} \over {\prod _{n=1}^{\infty }(n!)^{k_{n}}k_{n}!}}\prod _{n=1}^{\infty }(T_{n})^{k_{n}}\\&=\sum _{k\in M}{{|k|!} \over {|k|!}}{{x^{|k|}{\prod _{n=1}^{\infty }(T_{n})^{k_{n}}}} \over {\prod _{n=1}^{\infty }(n!)^{k_{n}}{k_{n}!}}}\\&=\sum _{k\in M}{x^{|k|}}\prod _{n=1}^{\infty }\left({{T_{n}} \over {n!}}\right)^{k_{n}}{{1} \over {k_{n}!}}\\&=\sum _{k\in M}{x^{\sum _{n=1}^{\infty }nk_{n}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left({{T_{n}} \over {n!}}\right)^{k_{n}}{{1} \over {k_{n}!}}\\&=\sum _{k\in M}\prod _{n=1}^{\infty }{x_{n}^{k_{n}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left({{T_{n}} \over {n!}}\right)^{k_{n}}{{1} \over {k_{n}!}}\\&=\sum _{k\in M}\prod _{n=1}^{\infty }\left({{T_{n}x_{n}} \over {n!}}\right)^{k_{n}}{{1} \over {k_{n}!}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\sum _{k_{n}=0}^{\infty }\left({{T_{n}x_{n}} \over {n!}}\right)^{k_{n}}{{1} \over {k_{n}!}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\exp \left({{T_{n}x^{n}} \over {n!}}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{{T_{n}x^{n}} \over {n!}}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}{{1} \over {n!}}x^{n}\right)\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle M}$는 유한 중복집합들, 즉 함수

${\displaystyle k\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {N} }$

${\displaystyle k\colon n\mapsto k_{n}}$

가운데

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }nk_{n}<\infty }$

인 것들의 족이며,

${\displaystyle |k|=\sum _{n=1}^{\infty }nk_{n}}$

이고,

${\displaystyle T_{n}=n^{n-2}}$이다.

예

정의에 따라, 모든 무변 그래프는 숲 그래프이며, 특히 한원소 그래프 ${\displaystyle K_{1}}$은 나무 그래프이다.

임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 경로 그래프 ${\displaystyle P_{n}}$은 나무 그래프이다. 또한, 양쪽 무한 경로 그래프

${\displaystyle P_{\infty }}$

및 한쪽 무한 경로 그래프

${\displaystyle P_{\infty }^{+}}$

역시 둘 다 나무 그래프이다.

프뤼퍼 열의 예

다음과 같은 유한 나무 그래프 ${\displaystyle T}$를 생각하자.

이 경우,

1. 잎 꼭짓점들은 ${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$이며, 이 가운데 최솟값은 1이다. 이는 꼭짓점 4에 연결되어 있다. 즉, ${\displaystyle x_{0}=1}$이며 ${\displaystyle y_{0}=4}$이다. 이제, 꼭짓점 1을 제거하자.
2. ${\displaystyle T\setminus \{1\}}$에서, 잎 꼭짓점들은 ${\displaystyle \{2,3,6\}}$이며, 이 가운데 최솟값은 2이다. 이는 꼭짓점 4에 연결되어 있다. 즉, ${\displaystyle x_{1}=2}$이며 ${\displaystyle y_{1}=4}$이다. 이제, 꼭짓점 2를 제거하자.
3. ${\displaystyle T\setminus \{1,2\}}$에서, 잎 꼭짓점들은 ${\displaystyle \{3,6\}}$이며, 이 가운데 최솟값은 3이다. 이는 꼭짓점 4에 연결되어 있다. 즉, ${\displaystyle x_{2}=3}$이며 ${\displaystyle y_{2}=4}$이다. 이제, 꼭짓점 3을 제거하자.
4. ${\displaystyle T\setminus \{1,2,3\}}$에서, 잎 꼭짓점들은 ${\displaystyle \{4,6\}}$이며, 이 가운데 최솟값은 4이다. 이는 꼭짓점 5에 연결되어 있다. 즉, ${\displaystyle x_{3}=4}$이며 ${\displaystyle y_{2}=5}$이다. 이제, 꼭짓점 4를 제거하자.
5. ${\displaystyle T\setminus \{1,2,3,4\}}$에서, 잎 꼭짓점들은 ${\displaystyle \{5,6\}}$이며, 이 가운데 최솟값은 5이다. 즉, ${\displaystyle x_{4}=5}$이다. 이는 꼭짓점 6에 연결되어 있으나, 이 역시 잎 꼭짓점이므로, 프뤼퍼 열은 끝난다.

즉,

${\displaystyle (y_{0},\dotsc ,y_{4})=(4,4,4,5)}$

이다.

역사

케일리 공식은 1860년에 카를 빌헬름 보르하르트(독일어: Carl Wilhelm Borchardt, 1817~1880)가 최초로 증명하였다.^[2] 이후 1889년에 아서 케일리가 같은 정리의 새 증명을 발표하였다.^[3] 케일리는 보르하르트의 논문을 인용하였지만, 이 공식은 더 유명한 케일리의 이름을 따 불리게 되었다.

에른스트 파울 하인츠 프뤼퍼(독일어: Ernst Paul Heinz Prüfer, 1896~1934)는 1918년에 프뤼퍼 열을 도입하였으며, 이를 사용하여 이에 대한 다른 증명을 제시하였다.^[4]

같이 보기

• 결정 트리
• 트리 구조 (모델)
• 트리 구조