차 (수학)

수학에서 차(次, degree) 또는 차수(次數, exponent)는 문자를 포함한 항에서 문자가 곱해진 개수를 의미한다. 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 이차방정식이나 삼차방정식, 이차확대체처럼 다항식의 종류나 확대체의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.

다항식의 차수

정의

다항식을 동류항끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 차수라 한다. 다항식 ${\displaystyle f}$의 차수는 보통 ${\displaystyle \deg \,f}$로 나타낸다.

예를 들어, ${\displaystyle x^{2}+10x+16}$의 차수는 2이므로, 이 다항식은 2차식이다. 다항식 ${\displaystyle (x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)}$은 ${\displaystyle x^{3}}$을 포함하고 있지만, 동류항을 묶어 식을 정리하면

${\displaystyle (x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)=2x^{2}-2x}$

이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.

문자가 여러 개인 다항식의 차수

두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.

예를 들어, 두 문자 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$에 대한 다항식 ${\displaystyle x^{2}y^{3}+x^{3}+y^{4}+1}$에서 각 항의 차수는 다음과 같다.

항	(${\displaystyle x}$의 지수)+(${\displaystyle y}$의 지수)
${\displaystyle x^{2}y^{3}}$	5
${\displaystyle x^{3}=x^{3}y^{0}}$	3
${\displaystyle y^{4}=x^{0}y^{4}}$	4
${\displaystyle 1=x^{0}y^{0}}$	0

가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.

차수의 성질

일반적으로 두 다항식 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)}$

${\displaystyle \deg(fg)=\deg \,f+\deg \,g}$

예를 들어, ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1,g(x)=x+2}$일 때,

${\displaystyle f(x)+g(x)=x^{2}+x+3}$

${\displaystyle f(x)g(x)=x^{3}+2x^{2}+x+2}$

이므로 위의 성질이 성립한다.

상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를 ${\displaystyle -\infty }$로 생각하면 편리한 경우가 많다. 이 경우, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle a}$에 대하여

${\displaystyle -\infty <a,\ -\infty +a=-\infty }$

이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.

확대체의 차수

체 ${\displaystyle F}$와 그 확대체 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle K}$를 ${\displaystyle F}$위에서 정의된 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이때 ${\displaystyle K}$의 차원 ${\displaystyle \dim _{F}{K}}$을 확대체 ${\displaystyle K}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 차수라 하며 ${\displaystyle [K:F]}$로 나타낸다. 예를 들어 ${\displaystyle [\mathbf {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbf {Q} ]=2}$이므로 ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {2}})}$는 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$의 이차확대체이다.

그래프 이론의 차수

무향 그래프에서, 한 꼭짓점에 이어져있는 변의 개수

위상수학에서의 차수

 이 부분의 본문은 연속함수의 차수입니다.