지겔 모듈러 형식

수학에서 지겔 모듈러 형식(영어: Siegel modular form)은 보형 형식의 한 종류이자 모듈러 형식의 일반화이다. 통상적인 모듈러 형식이 타원곡선(1차원 아벨 다양체)과 관계있는 것처럼, 지겔 모듈러 형식은 일반적 차원의 아벨 다양체와 관계가 있다.

역사

카를 루트비히 지겔이 1930년대에 이차 형식을 해석적으로 분석하기 위하여 도입하였다.

정의

지겔 상반평면과 심플렉틱 군

종수 ${\displaystyle g}$의 지겔 상반평면 ${\displaystyle \mathbb {H} _{g}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {H} _{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\top }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ positive definite}}\right\}}$

준위 1의 심플렉틱 군(영어: symplectic group of level 1) ${\displaystyle \Gamma _{g}(1)}$을 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \Gamma _{g}(1)=\operatorname {Sp} (2g;\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\top }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}}$

이는 모듈러 군 ${\displaystyle \Gamma (1)=\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}$를 일반화한 것이며, 통상적인 심플렉틱 군 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )}$의 부분군이다. 모듈러 군의 경우와 마찬가지로, 합동류 사상

${\displaystyle \Gamma _{g}(1)=\operatorname {Sp} (N;\mathbb {Z} ){\xrightarrow {\bmod {N}}}\operatorname {Sp} (N;\mathbb {Z} /N)}$

에 대한 핵

${\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\ker({\bmod {N}})\subset \Gamma _{g}(1)}$

을 정의할 수 있다. 이를 준위 N의 심플렉틱 군(영어: symplectic group of level N)이라고 한다.

${\displaystyle \Gamma _{g}(1)}$은 지겔 상반평면에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \Gamma _{g}(1)}$

이고

${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{g}}$

라면,

${\displaystyle \gamma \tau ={\frac {A\tau +B}{C\tau +D}}}$

이다.

지겔 모듈러 형식

${\displaystyle V}$가 복소수 벡터 공간이고,

${\displaystyle \rho \colon \operatorname {GL} (g;\mathbb {C} )\to \operatorname {GL} (V)}$

가 유리 함수인 군 표현이라고 하자. 종수 ${\displaystyle g>1}$, 무게 ${\displaystyle \rho }$, 준위 N인 지겔 모듈러 형식 ${\displaystyle f\colon \mathbb {H} _{g}\to V}$는 준위 N의 심플렉틱 군의 임의의 원소

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \Gamma _{g}(N)}$

에 대하여

${\displaystyle f\left({\frac {A\tau +B}{C\tau +D}}\right)=\rho (C\tau +D)f(\tau )}$

인 정칙함수이다.

종수가 ${\displaystyle g=1}$인 경우(통상적 모듈러 형식)에는 ${\displaystyle f}$가 첨점 ${\displaystyle i\infty }$에서 정칙적이라는 조건을 추가해야 한다. 그러나 ${\displaystyle g>1}$인 경우에는 쾨허 원리(영어: Koecher principle)^[1]라는 정리에 따라서 이 조건이 자동적으로 만족된다.

종수 ${\displaystyle g}$, 무게 ${\displaystyle \rho }$, 준위 ${\displaystyle N}$의 지겔 모듈러 형식의 공간을

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N))}$

이라고 쓴다.

각주

1. Koecher, Max (1954). “Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 59: 455–466.

• Klingen, Helmut (1990). 《Introductory Lectures on Siegel Modular Forms》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 20. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511619878. ISBN 978-0-52135052-5.
• van der Geer, Gerard. “Siegel modular forms” (영어). arXiv:math/0605346. Bibcode:2006math......5346V.