일차 함수

수학에서 일차 함수(一次函數, 영어: linear function)는 최고 차항의 차수가 1인 다항 함수이다. 즉, 그래프가 직선인 함수이다. 정비례 함수(正比例函數 영어: directly proportional function)는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점을 지나는 직선인 함수이다. 단, 계수는 실수여야 한다.

일차 함수 그래프의 예시

정의

일차 함수는 정의역과 공역이 실수의 집합인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

여기서 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 임의의 실수이다. 정비례 함수는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.

${\displaystyle f(x)=ax}$

여기서 ${\displaystyle a}$는 임의의 실수이다. (정비례 함수는 x의 증가에 따라 y도 증가하는 그래프이다.)

성질

일차 함수 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$의 데카르트 좌표계에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수 ${\displaystyle f(x)=ax}$의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.

기울기

일차 함수 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$의 기울기는 ${\displaystyle x}$ 왼쪽에 붙은 상수 ${\displaystyle a}$를 뜻하며, 이를 구하는 공식은 여러 가지가 있다. 먼저, 일차 함수의 그래프 위의 두 점 ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}$ 및 ${\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))}$를 취했을 때, 기울기는 독립 변수의 값과 종속 변수의 값의 변화량의 비와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의 ${\displaystyle x}$축을 반대 시계 방향으로 회전해야 하는 각도를 ${\displaystyle \theta }$라고 할 때, ${\displaystyle a}$는 이 각도의 탄젠트와 같다. 사실, ${\displaystyle a}$는 ${\displaystyle f}$의 미분이기도 하다.

${\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=\tan \theta =f'(x)}$

일차 함수 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.

• ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle f(x)}$는 일차 다항식이다.
• ${\displaystyle f(x)}$의 그래프는 수평선이 아니다.
• ${\displaystyle f(x)}$는 강한 단조 함수이다.
• ${\displaystyle f(x)}$는 전단사 함수이다.

영점

일차 함수 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$의 영점은 일차 방정식 ${\displaystyle f(x)=0}$의 해와 같다. 즉, 그래프가 ${\displaystyle x}$축과 만나는 점의 좌표이다.

• ${\displaystyle a\neq 0}$일 경우, ${\displaystyle f(x)}$의 영점은 ${\displaystyle -b/a}$가 유일하다. 즉, ${\displaystyle f(x)}$의 그래프는 ${\displaystyle x}$축과 유일한 교점 ${\displaystyle (-b/a,0)}$을 갖는다.
• ${\displaystyle a=0\neq b}$일 경우, ${\displaystyle f(x)}$의 영점은 존재하지 않는다. 이 경우 ${\displaystyle f(x)}$의 그래프는 수평선이며, ${\displaystyle x}$축과 거리 ${\displaystyle b}$만큼 떨어져 있다.
• ${\displaystyle a=0=b}$일 경우, 모든 실수가 ${\displaystyle f(x)}$의 영점이다. 즉, ${\displaystyle f(x)}$의 그래프는 ${\displaystyle x}$축과 겹쳐진다.

일차 함수 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$의 0에서의 함숫값은 ${\displaystyle f(0)=b}$이다. 이는 ${\displaystyle f(x)}$의 그래프가 ${\displaystyle y}$축과 만나는 점의 좌표와 같다.

단조성

일차 함수 ${\displaystyle f(x)=ax+b}$는 항상 단조 함수이다. ${\displaystyle a>0}$이면 강한 증가 함수, ${\displaystyle a<0}$이면 강한 감소 함수, ${\displaystyle a=0}$이면 상수 함수이다.

아핀성과 선형성

함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y,t\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)}$
• 임의의 도함수 ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle f\circ g}$ 역시 도함수이다.
• ${\displaystyle f}$는 일차 함수이다.

함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y,c\in \mathbb {R} }$에 대하여, ${\displaystyle f(cx+y)=cf(x)+f(y)}$
• ${\displaystyle f}$는 정비례 함수이다.

이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환이다.

같이 보기

• 등차수열
• 비례
• 이차 함수

외부 링크

• “Linear function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.