등차수열

수학에서 등차수열(等差數列, 문화어: 같은차수렬, 영어: arithmetic progression, AP 또는 arithmetic sequence)은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공통으로 나타나는 차이므로, 공차(common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.

수열의 첫항을 ${\displaystyle a_{1}}$, 공차를 ${\displaystyle d}$라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

등차수열 구하기

등차수열의 항과 공차 이용

${\displaystyle x}$번째 항을 ${\displaystyle a_{x}}$, 공차를 ${\displaystyle d}$라 하면 등차수열의 일반항은 다음과 같다.

${\displaystyle a_{n}=a_{x}+(n-x)d}$

물론 여기에 ${\displaystyle x=1}$을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면

${\displaystyle a_{n}=a_{5}+(n-5)d}$

${\displaystyle a_{n}=9+2(n-5)}$

${\displaystyle a_{n}=2n-1}$

공차

등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 ${\displaystyle d}$로 표시한다.

예시를 들면 다음과 같다.

• 1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 ${\displaystyle d}$는 1이다.
• 1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차${\displaystyle d}$는 0이다.(특히, 이런 수열을 상수수열이라고 한다)
• 2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 ${\displaystyle d}$는 8이다.
• 342, 345, 348, 351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차${\displaystyle d}$는 3이다.
• 0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 ${\displaystyle d}$는 -1이다.

${\displaystyle d}$는 ${\displaystyle a_{(}n+1)}$ - ${\displaystyle a_{n}}$ (단, ${\displaystyle n}$은 ${\displaystyle >=}$ 2)로 구할 수 있다. 또는 ${\displaystyle a_{x}}$ - ${\displaystyle a_{y}}$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle x}$ - ${\displaystyle y}$ 로 구할 수 있다.

등차중항

세 수 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$가 이 순서로 등차수열을 이룰때, ${\displaystyle b}$를 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$의 등차중항이라고 한다. 세 수 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$에 대하여 ${\displaystyle b}$가 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 ${\displaystyle b-a=c-b}$ 이므로 다음이 성립한다.

${\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}$

등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$가 이 순서로 등차수열을 이룰때, ${\displaystyle b}$는 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle c}$의 이등분점이다. 네 수 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$가 이 순서로 등차수열을 이룰때, ${\displaystyle b}$는 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle d}$의 1:2 내분점이고 ${\displaystyle c}$는 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle d}$의 2:1 내분점이다. 즉, ${\displaystyle b}$와 ${\displaystyle c}$는 삼등분점이 된다.

수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다.^[1]

등차급수

등차급수(영어: arithmetic series)는 다음과 같은 공식으로 나타난다. 초항부터 n번째 항까지의 합 ${\displaystyle S_{n}}$은

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}$

이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}}$ 은, 즉

${\displaystyle =a_{1}+(a_{1}+d)+\dots +\{a_{1}+(n-2)d\}+\{a_{1}+(n-1)d\}}$

${\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}}$ 은, 즉

${\displaystyle =\{a_{1}+(n-1)d\}+\{a_{1}+(n-2)d\}+\dots +(a_{1}+d)+a_{1}}$

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$

${\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]}$

${\displaystyle 2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}$

결론적으로 등차급수는 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 평균값 x ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 항의 개수로 정리할 수 있다.(단, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$은 유한수열)

등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.

또 다른 방법

사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.

${\displaystyle S=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5}$

${\displaystyle S=0}$임을 쉽게 알 수 있다.

등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다. 즉, 양 끝의 합이 0이 되도록 양 끝의 합의 평균을 구해 항의 개수만큼 빼주는 것이다.

그 평균값을 m이라 하면

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$

양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.

${\displaystyle S_{n}-m*n=0}$

${\displaystyle S_{n}=m*n}$

${\displaystyle S_{n}=\{{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\}\cdot n}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

등차급수의 무한합

첫항과 공차가 동시에 0이 아닌 어떤 등차수열 ${\displaystyle a_{n}}$에 대하여, 이 수열의 무한합 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$은 항상 발산한다.

각주

1. 자유자재수학^{[모호한 표현][쪽 번호 필요]}

같이 보기

• 등비수열
• 소수로 이루어진 등차수열
• 수열 슬라이드 자료 (위키버시티)