절대평탄환

환론에서 절대평탄환(絶對平坦環, 영어: absolutely flat ring) 또는 폰 노이만 정칙환(正則環, 영어: von Neumann regular ring, 약자 VNR환)은 모든 원소가 ‘가역원에 근접하여’ 모든 가군이 평탄 가군이 되는 환이다.

정의

(항등원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$ 속의 원소 ${\displaystyle r\in R}$의 약역원(弱逆元, 영어: weak inverse element)은 다음 조건을 만족시키는 원소 ${\displaystyle s\in R}$이다.

${\displaystyle r=rsr}$

만약 ${\displaystyle r}$가 가역원이라면, 그 약역원은 역원 ${\displaystyle s=r^{-1}}$ 밖에 없다. 그러나 가역원이 아닌 원소는 여러 개의 약역원들을 가질 수 있다. 특히, 0은 모든 원소를 약역원으로 갖는다. 이 경우, ${\displaystyle rs=(rs)^{2}}$ 및 ${\displaystyle sr=(sr)^{2}}$는 멱등원을 이룬다. ${\displaystyle r}$가 ${\displaystyle s}$의 약역원이라도, ${\displaystyle s}$가 ${\displaystyle r}$의 약역원일 필요는 없다. (예를 들어, 임의의 원소는 0의 약역원이지만, 0을 약역원으로 갖는 원소는 0 밖에 없다.)

(항등원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 절대평탄환 또는 폰 노이만 정칙환이라고 한다.

• ${\displaystyle R}$의 모든 왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 오른쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 원소는 (적어도 하나 이상의) 약역원을 갖는다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 주 왼쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle Rr=Re}$이며 ${\displaystyle e=e^{2}}$인 원소 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.
• ${\displaystyle R}$의 모든 주 오른쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle rR=eR}$이며 ${\displaystyle e=e^{2}}$인 원소 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.

성질

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 절대평탄환이다.
• 그 위의 모든 단순 가군이 단사 가군이다.

함의 관계

절대평탄환인 정역은 체 밖에 없다. 모든 나눗셈환은 절대평탄환이다.

불 대수는 (가환환으로 간주하였을 때) 절대평탄환이다. (이는 불 대수에서 모든 원소가 멱등원이기 때문이다.)

연산에 대한 닫힘

절대평탄환 ${\displaystyle K}$와 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}$은 역시 절대평탄환이다.

역사

이 개념은 존 폰 노이만이 ‘정칙환’(영어: regular ring)이라는 이름으로 1936년에 도입하였다.^[1] 그러나 그 뒤 ‘정칙환’이라는 용어는 다른 뜻으로 쓰이게 되었으며, 혼동을 피하기 위하여 ‘폰 노이만 정칙환’(영어: regular ring in the sense of von Neumann, von Neumann regular ring) 또는 ‘절대평탄환’(영어: absolutely regular ring) 등의 용어로 대체되었다.

참고 문헌

1. von Neumann, John (1936). “On regular rings”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 22 (12): 707–712. doi:10.1073/pnas.22.12.707. JFM 62.1103.03. PMC 1076849. PMID 16577757. Zbl 0015.38802.

외부 링크

• “Regular ring (in the sense of von Neumann)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Barile, Margherita. “Von Neumann regular ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Sharifi, Yaghoub (2010년 10월 22일). “von Neumann Regular rings (1)”. 《Abstract Algebra》 (영어).
• Sharifi, Yaghoub (2010년 10월 22일). “von Neumann Regular rings (2)”. 《Abstract Algebra》 (영어).
• Sharifi, Yaghoub (2010년 10월 31일). “von Neumann Regular rings (3)”. 《Abstract Algebra》 (영어).