자이베르그-위튼 불변량

위상수학에서 자이베르그-위튼 불변량(זייברג-Witten不變量, 영어: Seiberg–Witten invariant)은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 자기 홀극 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다. 이는 도널드슨 불변량과 동치인 것으로 추측된다.

정의

4차원 콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 스핀C 구조 ${\displaystyle s}$가 주어졌다고 하자.

수학적 정의

${\displaystyle M}$ 위의, 스핀C 구조 ${\displaystyle s}$에 대한 스피너 벡터다발

${\displaystyle W=W^{+}\oplus W^{-}}$

을 정의하자. ${\displaystyle W^{\pm }}$은 각각 ${\displaystyle M}$ 위의 복소수 2차원 벡터다발이다. ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$가 ${\displaystyle W^{+}}$의 단면이라고 하고, ${\displaystyle A_{\mu }}$가 ${\displaystyle M}$의 표준 선다발 위의 접속이라고 하자. 그렇다면, 자이베르그-위튼 방정식 ${\displaystyle \phi }$ 및 ${\displaystyle A}$에 대한 비선형 연립 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

${\displaystyle D_{\mu }\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }\psi _{\alpha }=0}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{+}=({\bar {\psi }}\sigma _{\mu }\sigma _{\nu }\psi )^{+}}$

여기서 ${\displaystyle D_{\mu }=\partial +iA_{\mu }}$는 ${\displaystyle A}$에 의한 공면 미분이며, ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{+}}$는 ${\displaystyle A_{\mu }}$의 장세기

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

의 자기 쌍대 성분이며, ${\displaystyle \sigma _{\mu }}$는 파울리 행렬이다.

자이베르그-위튼 방정식의 해는 자기 홀극이라고 하며, 자이베르그-위튼 방정식의 해의 모듈라이 공간의, 게이지 군의 작용에 대한 몫공간을 자기 홀극 모듈러스 공간(영어: monopole moduli space)이라고 한다.

다양체 ${\displaystyle M}$이 단순형 다양체(영어: manifold of simple type)일 경우, 자기 홀극 모듈러스 공간은 0차원이며, 이 경우 자이베르그-위튼 불변량은 모듈러스 공간의 점의 수를 부호를 붙여 센 것이다.

물리학적 정의

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ SU(2) 초대칭 게이지 이론에서, 낮은 에너지 극한을 취하면 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ U(1) 초대칭 양자 전기역학, 즉 U(1) 초대칭 게이지 이론 및 대전된 하이퍼 초다중항을 얻는다. 이 경우, 하이퍼 초다중항으로부터 새로 유도되는 장들은 다음과 같다.

기호	U(1) 전하	설명	뒤틀기 전 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R	뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×U(1)R	뒤튼 뒤 설명
${\displaystyle M^{*}}$	−1	반스페르미온	(0, 0, ½)0	(0,½)0	${\displaystyle {\bar {M}}_{\dot {\alpha }}}$
${\displaystyle N_{\alpha }}$	+1	페르미온	(½, 0, 0)−1	(½,0)−1	${\displaystyle N_{\alpha }}$
${\displaystyle {\bar {N}}_{\dot {\alpha }}}$	−1	반페르미온	(0, ½, 0)+1	(0,½)+1	${\displaystyle {\bar {N}}_{\dot {\alpha }}}$

이 경우 ${\displaystyle ({\bar {M}}_{\dot {\alpha }},{\bar {N}}_{\dot {\alpha }})}$는 ${\displaystyle Q}$의 다중항을 이룬다. ${\displaystyle N}$은 방정식 ${\displaystyle DM=0}$에 대응한다.

성질

${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭 게이지 이론은 재규격화군 이론을 통해 적외선 (=낮은 에너지) 극한을 가지며, 이 극한은 자이베르그-위튼 이론을 사용하여 완전히 계산할 수 있다. 위상 뒤틀기는 재규격화군 흐름과 가환하므로, 도널드슨 불변량을 자이베르그-위튼 이론을 통해 계산할 수 있어야 한다. 따라서, 물리학적으로는 자이베르그-위튼 불변량이 도널드슨 불변량과 동치라는 것은 분명하지만, 이는 수학적으로 엄밀히 증명되지 않았다.

역사

1994년에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.^[1][2]