자연 변환

범주론에서 자연 변환(自然變換, 영어: natural transformation)은 두 함자 사이에 범주적 구조를 보존하는 변환이다. 함자의 범주에서의 사상으로 생각할 수 있다.

정의

${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$가 (공변) 함자라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle G}$ 사이의 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 모든 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, 사상 ${\displaystyle \eta _{X}\colon F(X)\to G(X)}$

이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ (${\displaystyle X,Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$)에 대하여,

${\displaystyle \eta _{Y}F(f)=G(f)\eta _{X}}$.

즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

마찬가지로, 반변함자 ${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ 사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.

자연 동형 사상(自然同形寫像, 영어: natural isomorphism)은 모든 ${\displaystyle \eta _{X}}$가 동형 사상을 이루는 자연 변환 ${\displaystyle \eta }$이다. 두 함자 사이에 자연 동형 사상이 존재하는 경우, 두 함자가 자연 동형(自然同形, 영어: naturally isomorphic)이라고 한다.

성질

세 함자 ${\displaystyle F,G,H\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 사이의 두 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$, ${\displaystyle \eta '\colon G\Rightarrow H}$의 합성

${\displaystyle \eta '\circ \eta \colon F\Rightarrow H}$

${\displaystyle (\eta '\circ \eta )_{X}=\eta '_{X}\circ \eta _{X}}$

은 자연 변환이다. 두 함자 ${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 사이의 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$ 및 함자 ${\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}}$에 대하여,

${\displaystyle T\eta \colon TF\Rightarrow TG}$

${\displaystyle (T\eta )_{X}=T(\eta _{X})}$

는 자연 변환이다. 두 함자 ${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 사이의 자연 변환 ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$ 및 함자 ${\displaystyle T\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}}$에 대하여,

${\displaystyle \eta T\colon FT\Rightarrow GT}$

${\displaystyle (\eta T)_{X}=\eta _{T(X)}}$

는 자연 변환이다.

예

군론에서, 군 ${\displaystyle G}$의 반대군 ${\displaystyle G^{\operatorname {op} }}$은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 함자 ${\displaystyle \mathrm {Grp} \to \mathrm {Grp} }$를 이룬다. (여기서 ${\displaystyle \mathrm {Grp} }$는 군과 군 준동형의 범주다.) 이 함자는 항등함자 ${\displaystyle \mathrm {Grp} \to \mathrm {Grp} }$와 자연 동형이다. 이는 군의 반대군을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.

(실수 또는 복소수) 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$는 그 쌍대 공간 ${\displaystyle V^{*}}$과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 함자${\displaystyle \mathrm {FinVect} \to \mathrm {FinVect} }$는 항등 함자와 자연 동형이지 않다. 이는 쌍대 공간을 정의하기 위해서는 기저를 골라야 하는데, 임의의 벡터 공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 내적공간의 범주의 경우, 쌍대 공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대 함자는 항등 함자와 자연 동형이다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1945년에 도입하였다.^[1][2] 이 논문은 범주론의 시초로 여겨진다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

“	범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다. […] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.	”
	— [3]:18

같이 보기

• 초자연 변환
• 보편 성질

각주

1. Eilenberg, Samuel; Mac Lane, Saunders (1945년 9월). “General theory of natural equivalences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284.
2. Marquis, Jean-Pierre (2010년 2월 25일). 〈Category theory〉. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》. Metaphysics Research Lab, Stanford University. |장=에 외부 링크가 있음 (도움말)
3. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). 《Algebra》 (영어) 3판. AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-1646-2. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Awodey, Steve (2010). 《Category Theory》. Oxford Logic Guides (영어) 49 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-958736-0. MR 2668552. Zbl 1194.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Barr, Michael; Wells, Charles (2012). 《Category Theory for Computing Science》. Reprints in Theory and Applications of Categories (영어) 22 3판. MR 2981171. Zbl 1253.18001. 2015년 1월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 9월 22일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Bucur, Ion; Deleanu, Aristide (1968). 《Introduction to the theory of categories and functors》. Pure and Applied Mathematics (영어) 19. Wiley. MR 0236236. Zbl 0197.29205.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Natural transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Natural isomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.