반완전환

환론에서 반완전환(半完全環, 영어: semiperfect ring)은 모든 유한 생성 가군이 사영 덮개를 갖는 환이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반완전환(영어: semiperfect ring)이라고 한다.

• ${\displaystyle 1=e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{k}}$가 되는, 국소 멱등원들의 직교 유한 집합 ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},\dots ,e_{k}\}}$가 존재한다.^{[1]:347, Theorem 23.6}
• ${\displaystyle R/\operatorname {rad} (R)}$는 반단순환이며, ${\displaystyle R/\operatorname {rad} (R)}$의 모든 멱등원 ${\displaystyle [e]\in R/\operatorname {rad} (R)}$에 대하여 ${\displaystyle e\in [e]}$가 되는 ${\displaystyle R}$-멱등원 ${\displaystyle e\in R}$가 존재한다.^{[1]:346, Definition 23.1}
• 모든 ${\displaystyle R}$-유한 생성 왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다.
• 모든 ${\displaystyle R}$-유한 생성 오른쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다.

(여기서 모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환·오른쪽 아르틴 환이며, ${\displaystyle \operatorname {rad} R}$는 제이컵슨 근기를 뜻한다.)

환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 완전환(-完全環, 영어: left perfect ring)이라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군이 사영 덮개를 갖는다.
• 모든 ${\displaystyle R}$-평탄 왼쪽 가군은 사영 왼쪽 가군이다.
• (배스 정리 P 영어: Bass’s theorem P) ${\displaystyle R}$-주 오른쪽 아이디얼들 ${\displaystyle \{rR\colon r\in R\}}$은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (※ 왼쪽이 아니라, 주 오른쪽 아이디얼이다.)
• ${\displaystyle R/\operatorname {rad} R}$는 반단순환이며, 임의의 열 ${\displaystyle j_{0},j_{1},j_{2},\dots \in \operatorname {rad} R}$에 대하여 ${\displaystyle j_{0}j_{1}j_{2}\cdots j_{n}=0}$이 되는 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
• ${\displaystyle R/\operatorname {rad} R}$는 반단순환이며, 모든 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군은 영가군이 아니라면 극대 부분 가군을 갖는다.

마찬가지로 오른쪽 완전환(-完全環, 영어: right perfect ring)의 개념을 정의할 수 있다. 반완전환과 달리, 완전환의 개념은 왼쪽·오른쪽이 서로 다르다.

성질

반완전환·왼쪽 완전환·오른쪽 완전환의 개념은 (가군만을 통해 정의되므로) 모리타 동치에 대하여 불변이다.

함의 관계

임의의 (곱셈 항등원을 갖는) 환에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.^[1]:335

오른쪽 아르틴 환	⇒	오른쪽 뇌터 환		오른쪽 완전환
	⇘		⇗		⇘
		반으뜸환		국소환	⇒	반완전환	⇒	반국소환
	⇗		⇘		⇗
왼쪽 아르틴 환	⇒	왼쪽 뇌터 환		왼쪽 완전환

여기서 반으뜸환(半-環, 영어: semiprimary ring)은 그 제이컵슨 근기 ${\displaystyle \operatorname {rad} R}$가 멱영 아이디얼이며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환 ${\displaystyle R/\operatorname {rad} R}$가 반단순환인 환 ${\displaystyle R}$를 뜻한다.

사영 가군

${\displaystyle R}$가 반완전환이며, ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{k}\}}$가 서로 직교인 국소 멱등원들의 집합이라고 하자.

반완전환 ${\displaystyle R}$ 위의 모든 유한 생성 사영 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$은 다음과 같은 꼴의 유한 직합으로 분해된다.

${\displaystyle M=(Re_{1})^{\oplus n_{1}}\oplus (Re_{2})^{\oplus n_{2}}\oplus \cdots \oplus (Re_{k})^{\oplus n_{k}}}$

여기서 각 ${\displaystyle n_{k}\in \mathbb {N} }$은 자연수이다.

${\displaystyle R}$가 추가로 왼쪽 완전환이라고 하자. ${\displaystyle R}$ 위의 모든 사영 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$은 다음과 같은 꼴 직합으로 분해된다.

${\displaystyle M=(Re_{1})^{\oplus \kappa _{1}}\oplus (Re_{2})^{\oplus \kappa _{2}}\oplus \cdots \oplus (Re_{k})^{\oplus \kappa _{k}}}$

여기서 각 ${\displaystyle \kappa _{i}}$는 (무한 또는 유한) 기수이다.

주 분해 불가능 가군

${\displaystyle R}$가 반완전환이라고 하자. 그렇다면, 원시 멱등원 ${\displaystyle e\in R}$에 대하여, ${\displaystyle Re}$와 같은 꼴의 왼쪽 가군을 주 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: principal indecomposable left module)이라고 한다. 이들은 분해 불가능 가군이며 사영 가군이다.

그렇다면, ${\displaystyle R}$ 위의 단순 왼쪽 가군들의 동형류 집합은 ${\displaystyle R}$ 위의 주 분해 불가능 왼쪽 가군들의 동형류 집합과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 원시 멱등원 ${\displaystyle e\in R}$가 주어졌을 때, 주 분해 불가능 왼쪽 가군 ${\displaystyle Re}$에 대응하는 단순 왼쪽 가군은

${\displaystyle {\frac {Re}{\operatorname {rad} (R)e}}}$

이다.

나카야마 순열

반완전환 ${\displaystyle R}$가 유한 개의 원시 멱등원 ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$을 갖는다고 하자. 만약

${\displaystyle \operatorname {soc} (Re_{\sigma (i)})\cong {\frac {Re_{i}}{\operatorname {rad} (R)e_{i}}}}$

${\displaystyle \operatorname {soc} (e_{i}R)\cong {Re_{\sigma (i)}}{e_{\sigma (i)}\operatorname {rad} (R)}}$

라면, ${\displaystyle \sigma }$를 ${\displaystyle R}$의 나카야마 순열([中山]順列, 영어: Nakayama permutation)이라고 한다. 이는 나카야마 다다시가 도입하였다.

분류

반완전환 ${\displaystyle R}$는 다음과 같은 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.^{[1]:361, Theorem 25.4}

${\displaystyle R=e_{1}R\times e_{2}R\times \cdots \times e_{k}R}$

여기서 각 ${\displaystyle e_{i}\in \operatorname {Z} (R)}$는 중심에 속하는 원시 멱등원들이다. 각 ${\displaystyle e_{i}R}$는 항등원 ${\displaystyle e_{i}\in e_{i}R}$를 갖는 반완전환이다.

반완전환 ${\displaystyle R}$의 기초 멱등원(영어: basic idempotent) ${\displaystyle e\in R}$는 다음과 같은 꼴의 멱등원이다.

${\displaystyle e=e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{k}}$

여기서

• 각 ${\displaystyle e_{i}\in R}$는 원시 멱등원이며, ${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}\qquad \forall i,j}$이다.
• ${\displaystyle \{Re_{1},Re_{2},\dots ,Re_{k}\}}$는 각각 서로 동형이 아닌 주 분해 불가능 가군들에 대응한다.

기초 멱등원 ${\displaystyle e\in R}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle eRe}$는 반완전환을 이루며, 이는 ${\displaystyle R}$의 모리타 동치류의 표준적인 대표원을 이룬다.^[1]:364

역사

1956년에 사무엘 에일렌베르크는 모든 대상이 사영 덮개를 갖는 아벨 범주를 "완전 범주"(영어: perfect category)라고 명명하였다.^[2] 이후 에일렌베르그의 용어를 차용하여, 하이먼 배스가 1960년에 완전환 및 반완전환의 개념을 도입하였다.^[3]

참고 문헌

1. Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.
2. Eilenberg, Samuel (1956년 9월). “Homological dimension and syzygies”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 64 (2): 328–336. doi:10.2307/1969977. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969977.
3. Bass, Hyman (1960). “Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 95 (3): 466–488. doi:10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8. ISSN 0002-9947. JSTOR 1993568. MR 0157984.

외부 링크

• “Semi-perfect ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Perfect ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.