부분 행렬

선형대수학에서 부분 행렬(部分行列, 영어: submatrix)은 주어진 행렬의 일부 행과 일부 열을 취한 더 작은 행렬이다. 소행렬식(小行列式, 영어: minor)은 부분 정사각 행렬의 행렬식이다. 부분 행렬과 그 행렬식은 라플라스 전개와 코시-비네 공식 등의 항등식에서 등장한다. 양의 정부호 행렬의 한 가지 필요충분조건도 부분 행렬의 행렬식을 통해 기술할 수 있다.

정의

환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}$과 그 행의 집합 ${\displaystyle I\subseteq \{1,2,\dots ,m\}}$ 및 열의 집합 ${\displaystyle J\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle (I,J)}$-부분 행렬

${\displaystyle A_{I,J}\in \operatorname {Mat} (|I|,|J|;R)}$

은 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle I}$에 속하는 행과 ${\displaystyle J}$에 속하는 열을 취하여 원래의 순서대로 배열한 ${\displaystyle |I|\times |J|}$ 행렬이다. 즉, 만약

${\displaystyle I=\{i_{1},i_{2},\dots ,i_{|I|}\}\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{|I|})}$

${\displaystyle J=\{j_{1},j_{2},\dots ,j_{|J|}\}\qquad (j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{|J|})}$

라고 하면, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle (A_{I,J})_{r,s}=A_{i_{r},j_{s}}\qquad (r=1,2,\dots ,|I|,\;s=1,2,\dots ,|J|)}$

특히,

• ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle I}$에 대한 주부분 행렬(主部分行列, 영어: principal submatrix)은 부분 행렬 ${\displaystyle A_{I,I}}$를 뜻한다.^{[1]:24, §1.3.3}
• ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle k\times k}$ 선행 주부분 행렬(先行主部分行列, 영어: leading principal submatrix)은 부분 행렬 ${\displaystyle A_{\{1,\dots ,k\},\{1,\dots ,k\}}}$를 뜻한다.^{[1]:24, §1.3.3}
• ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle i}$번째 행벡터(行-, 영어: row vector)는 ${\displaystyle A_{i,\{1,\dots ,n\}}}$이다.
• ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle j}$번째 열벡터(列-, 영어: column vector)는 ${\displaystyle A_{\{1,\dots ,m\},j}}$이다.

소행렬식과 여인자

가환환 성분의 행렬의 부분 정사각 행렬의 행렬식은 흔히 소행렬식이라고 부른다. 주부분 행렬의 행렬식은 주소행렬식(主小行列式, 영어: principal minor)이라고 하며, 선행 주부분 행렬의 행렬식은 선행 주소행렬식(先行主小行列式, 영어: leading principal minor)이라고 한다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)}$ 및 크기가 같은 행과 열의 집합 ${\displaystyle I,J\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여 (${\displaystyle |I|=|J|}$), ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle (I,J)}$-소행렬식 ${\displaystyle M(A)_{I,J}}$은 ${\displaystyle I}$에 속하는 행과 ${\displaystyle J}$에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 행렬식이다. ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle (I,J)}$-여인자 ${\displaystyle C(A)_{I,J}}$는 ${\displaystyle (I,J)}$-소행렬식에 적절한 부호 ${\displaystyle (-1)^{\sum I+\sum J}}$를 추가한 것이다.

${\displaystyle M(A)_{I,J}=\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J}\in R}$

${\displaystyle C(A)_{I,J}=(-1)^{\sum I+\sum J}\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J}\in R}$

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)}$의 여인자 행렬(餘因子行列, 영어: cofactor matrix)

${\displaystyle C(A)\in \operatorname {Mat} (n;R)}$

는 각 ${\displaystyle (i,j)}$-여인자

${\displaystyle C(A)_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{j\}}}$

를 ${\displaystyle (i,j)}$-성분으로 하는 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬이다.

예

실수 3×3 행렬

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0\\3&1&9\\-5&7&-12\end{pmatrix}}}$

에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\7&-12\end{pmatrix}}}$

이다. 따라서 (2,1)-여인자는

${\displaystyle (-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}-1&0\\7&-12\end{vmatrix}}=(-1)\times ((-1)\times (-12)-0\times 7)=-12}$

이다.

응용

라플라스 전개

 이 부분의 본문은 라플라스 전개입니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle A}$ 및 행·열의 집합 ${\displaystyle I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \det A=\sum _{J\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|J|=|I|}(\det A_{I,J})(-1)^{\sum I+\sum J}(\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus I,\{1,\dots ,n\}\setminus J})=\sum _{J\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|J|=|I|}(\det A_{J,I})(-1)^{\sum J+\sum I}(\det A_{\{1,\dots ,n\}\setminus J,\{1,\dots ,n\}\setminus I})}$

코시-비네 공식

 이 부분의 본문은 코시-비네 공식입니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle n\times m}$ 행렬 ${\displaystyle B}$에 대하여, 다음이 성립한다 (${\displaystyle m\leq n}$).

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{I\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|I|=m}\det A_{\{1,\dots ,m\},I}\det B_{I,\{1,\dots ,m\}}}$

역행렬

 이 부분의 본문은 고전적 수반 행렬입니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle A}$의 고전적 수반 행렬 ${\displaystyle \operatorname {adj} A}$은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 가역 행렬 ${\displaystyle A}$의 역행렬은 고전적 수반 행렬과 행렬식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A}$

양의 정부호성

 이 부분의 본문은 양의 정부호 행렬입니다.

에르미트 행렬 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 양의 정부호 행렬이다.
• 모든 선행 주소행렬식이 양의 실수이다.

또한 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 양의 준정부호 행렬이다.
• 모든 주소행렬식이 음이 아닌 실수이다.