안정점

대수기하학에서, 안정점(安定點, 영어: stable point)은 어떤 대수군의, 사영 대수다양체 위의 작용 아래, 그 안정자군이 유한하며, 그 궤도가 닫힌집합인 점이다.^[1][2]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$
• 가약 대수군 ${\displaystyle G\leq \operatorname {SL} (V)}$

그렇다면, 점 ${\displaystyle x\in V}$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 안정점이라고 한다.

1. 군의 작용의 궤도 ${\displaystyle G.x}$의 차원이 ${\displaystyle G}$의 차원과 같다. (즉, 안정자군이 유한하다.)
2. ${\displaystyle G.x}$가 ${\displaystyle V}$의 닫힌집합이다.

안정점의 집합을 ${\displaystyle X^{\operatorname {s} }}$라고 표기하자.

점 ${\displaystyle x\in V}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 준안정점(영어: semistable point)이라고 한다.

• 어떤 ${\displaystyle k}$차 ${\displaystyle G}$-불변 동차 다항식 ${\displaystyle p}$에 대하여 (${\displaystyle k\geq 1}$), ${\displaystyle p(x)\neq 0}$이다.

준안정점의 집합을 ${\displaystyle X^{\operatorname {ss} }}$라고 표기하자.

${\displaystyle V}$에 대한 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$의 점 ${\displaystyle [x]\in \mathbb {P} (V)}$의 경우, 그 점의 대표원 ${\displaystyle x\in V}$이 (준)안정점일 경우 마찬가지로 (준)안정점이라고 한다. ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ 속의, ${\displaystyle G}$의 작용에 대하여 불변인 사영 대수다양체일 경우에도 마찬가지로 정의한다.

성질

사영 대수다양체 ${\displaystyle X\subseteq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$를 정의하는 동차 아이디얼

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$

을 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]/{\mathfrak {I}}}$ 위에 작용한다. 이에 대한 고정점의 집합

${\displaystyle (\mathbb {C} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]/{\mathfrak {I}})^{G}}$

을 생각하자. 이는 복소수체 위의 유한 생성 가환 결합 대수를 이루며, 어떤 사영 대수다양체를 정의한다. 이를 ${\displaystyle X/\!/G}$라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\subseteq &X^{\operatorname {ss} }&\subseteq X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\subseteq &X/\!/G\end{matrix}}}$

여기서, ${\displaystyle X^{\operatorname {ss} }}$와 ${\displaystyle X^{\operatorname {s} }}$는 ${\displaystyle X}$의 열린집합이며, 마찬가지로 ${\displaystyle X^{\operatorname {s} }/G}$는 ${\displaystyle X/\!/G}$의 열린집합이다.

안정성의 수치 조건

${\displaystyle n}$차원 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \operatorname {P} (V)}$ 위에 ${\displaystyle G\leq \operatorname {SL} (V;\mathbb {C} )}$가 작용한다고 하자. 그렇다면, 임의의 대수적 군 준동형

${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G}$

에 대하여, ${\displaystyle V}$를 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 직합으로 분해할 수 있다.

${\displaystyle V_{i}=\{v\in V\colon \lambda (t)v=t^{i}v\}}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }V_{i}}$

(일부 ${\displaystyle i}$에 대하여 ${\displaystyle V_{i}=0}$일 수 있다.) 이에 대한 사영 사상을

${\displaystyle \pi _{i}\colon V\twoheadrightarrow V_{i}}$

라고 하자.

그렇다면, 임의의 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여

${\displaystyle \mu _{\lambda }(v)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon \pi _{i}(v)\neq 0\}}$

을 정의하자. 힐베르트-멈퍼드 수치 조건(Hilber-Mumford數値條件, 영어: Hilbert–Mumford numerical condition for stability)에 따르면, 임의의 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G}$에 대하여 ${\displaystyle \mu _{\lambda }(v)<0}$이다.
• ${\displaystyle v}$는 안정점이다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{\times }\to G}$에 대하여 ${\displaystyle \mu _{\lambda }(v)\leq 0}$이다.
• ${\displaystyle v}$는 준안정점이다.

역사

1893년에 다비트 힐베르트가 (현대적 용어로는) 준안정점이 아닌 점을 ‘영형식’(독일어: Nullform 눌포름^[*])이라는 이름으로 연구하였다.^[3] 이후 데이비드 멈퍼드가 1965년에 안정점과 준안정점의 개념을 도입하였다.^[2]

같이 보기

• 기하 불변량 이론 몫

참고 문헌

1. Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970). “Invariant theory, old and new”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 4: 1–80. doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0. ISSN 0001-8708. MR 0255525.
2. Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, Frances (1994). 《Geometric invariant theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 34 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-57916-5. ISBN 978-3-540-56963-3. MR 1304906.
3. Hilbert, David (1893). “Über die vollen Invariantensysteme”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 42: 313. doi:10.1007/BF01444162.

외부 링크

• “GIT-stable point”. 《nLab》 (영어).