스하우턴-네이엔하위스 괄호

미분기하학에서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호(영어: Schouten–Nijenhuis bracket)는 완전 반대칭 텐서장에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다.^[1] 이를 통해, 완전 반대칭 텐서장들은 거스틴해버 대수를 이룬다.

정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 완전 반대칭 ${\displaystyle (k,0)}$차 텐서장의 공간

${\displaystyle V^{k}=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\right)}$

을 생각하자. 이 위에는 올별 쐐기곱

${\displaystyle (\wedge )\colon V^{k}\otimes V^{l}\to V^{k+l}}$

이 존재하며, 이에 따라서 ${\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{k=0}^{\dim M}V^{k}}$는 등급 가환 대수를 이룬다.

이 위의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같은 연산이다.

${\displaystyle [-,-]\colon V^{m}\otimes _{\mathbb {R} }V^{n}\to V^{m+n-1}}$

이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle [X,-]={\mathcal {L}}_{X}\qquad \forall X\in V^{1}}$

${\displaystyle [f,g]=0\qquad \forall f,g\in V^{0}}$

${\displaystyle [\alpha ,\beta \wedge \gamma ]=[\alpha ,\beta ]\wedge \gamma +(-)^{\deg \beta (\deg \alpha -1)}\beta [\alpha ,\gamma ]\qquad \forall \alpha ,\beta ,\gamma }$

${\displaystyle [\alpha ,\beta ]=(-)^{1+(\deg \alpha -1)(\deg \beta -1)}[\beta ,\alpha ]}$

이에 따라,

${\displaystyle \Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} M\right)}$

는 쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.

성질

거스틴해버 대수의 성질에 따라, 초벡터 공간

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\Gamma \left(\bigoplus _{i}\bigwedge ^{2i+1}\mathrm {T} M\right)}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\Gamma \left(\bigoplus _{i}\bigwedge ^{2i}\mathrm {T} M\right)}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}}$

위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.

${\displaystyle (-)^{(\deg a-1)(\deg c-1)}[a,[b,c]]+(-)^{(\deg b-1)(\deg a-1)}[b,[c,a]]+(-)^{(\deg c-1)(\deg b-1)}[c,[a,b]]=0}$

푸아송 다양체

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푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\pi )}$의 경우, 정의에 따라 ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$이다. 이에 따라서 ${\displaystyle [\pi ,-]}$는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 푸아송 코호몰로지라고 한다.

예

구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.

차수 ${\displaystyle (\deg X,\deg Y)}$	대칭성	스하우턴-네이엔하위스 괄호 ${\displaystyle [X,Y]}$	비고
(0,0)	대칭	${\displaystyle 0}$	상수 함수
(0,1)	반대칭	${\displaystyle [X,Y]=-(\partial _{i}X)Y^{i}}$	스칼라장의 벡터장 방향 미분
(1,1)	반대칭	${\displaystyle [X,Y]^{i}=X^{l}\partial _{l}Y^{i}-(\partial _{l}X^{i})Y^{l}}$	벡터장의 리 미분
(0,2)	대칭	${\displaystyle [X,Y]^{i}=-(\partial _{l}X)Y^{li}}$	스칼라장의 기울기와의 내부곱
(1,2)	반대칭	${\displaystyle [X,Y]^{ij}=X^{l}\partial _{l}Y^{ij}-(\partial _{l}X^{i})Y^{lj}-(\partial _{l}X^{j})Y^{il}}$	텐서장의 리 미분
(2,2)	대칭	${\displaystyle [X,Y]^{ijk}=X^{lk}\partial _{l}Y^{ij}+X^{li}\partial _{l}Y^{jk}+X^{lj}\partial _{l}Y^{ki}+(\partial _{l}X^{ki})Y^{lj}+(\partial _{l}X^{ij})Y^{lk}+(\partial _{l}X^{jk})Y^{li}}$

역사

얀 아르놀뒤스 스하우턴(네덜란드어: Jan Arnoldus Schouten)^[2][3]과 알버르트 네이엔하위스(네덜란드어: Albert Nijenhuis)^[4]가 도입하였다.