내부곱

미분기하학에서 내부곱(內部곱, 영어: interior product)은 벡터장과 미분 형식 사이에 정의되는, 일종의 대수적 미분 연산이다. 기호는 ${\displaystyle \lrcorner }$ 또는 ${\displaystyle \iota }$.

정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 내부곱

${\displaystyle \lrcorner \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}$

${\displaystyle \lrcorner \colon X\otimes \alpha \mapsto X\lrcorner \alpha }$

은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. (${\displaystyle X\lrcorner \alpha }$는 간혹 ${\displaystyle \iota _{X}\alpha }$로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

공리적 정의

${\displaystyle M}$ 위의 내부곱

${\displaystyle \lrcorner \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}$

은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다.

• (차수 −1) 벡터장 ${\displaystyle X}$ 및 동차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \deg(X\lrcorner \alpha )=\deg \alpha -1}$
• (곱 규칙) 벡터장 ${\displaystyle X}$에 대하여, ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),X\lrcorner )}$는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M)}$ 및 ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{q}(M)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle X\lrcorner (\alpha \wedge \beta )=(X\lrcorner \alpha )\wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge (X\lrcorner \beta )}$

• (1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 ${\displaystyle X}$와 1차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle X\lrcorner \alpha =\alpha (X)}$

구체적 정의

${\displaystyle M}$ 위의 내부곱

${\displaystyle \lrcorner \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}$

은 임의의 ${\displaystyle p}$차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 다음과 같이 정의되는 연산이다.^{[1]:§5.4.3[2]:43, Exercise 3.3}

${\displaystyle X\lrcorner \alpha \colon (Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p-1})\mapsto \alpha (X,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p-1})\qquad \forall Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{p-1}\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$

성질

임의의 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega (M)}$ 및 두 벡터장 ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle X\lrcorner (Y\lrcorner \alpha )+Y\lrcorner (X\lrcorner \alpha )=0}$

특히,

${\displaystyle X\lrcorner X\lrcorner \alpha =0}$

이다.

리 미분과의 관계

카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 영어: Cartan’s magic formula)에 따르면, 임의의 벡터장 ${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$와 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega (M)}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =\mathrm {d} (X\lrcorner \alpha )+X\lrcorner \mathrm {d} \alpha }$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$은 리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장 ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$ 및 미분 형식 ${\displaystyle \alpha \in \Omega (M)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle [X,Y]\lrcorner \alpha ={\mathcal {L}}_{X}(X\lrcorner \alpha )-X\lrcorner {\mathcal {L}}_{X}\alpha }$

역사

내부곱의 개념과 용어(독일어: inner Produkt)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.^{[3]:§4.1, 107–112}