소수 (기수법)

수학의 기수법에서 소수(小數, 영어: decimal)는 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.

1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수(素數, prime number)에 대해서는 소수 (수론) 문서를 참고하십시오.

정의

음이 아닌 실수 ${\displaystyle r}$의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots }$

여기서 각 ${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$에 대하여, ${\displaystyle r_{i}}$는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤 ${\displaystyle n}$번째 자릿수 ${\displaystyle r_{n}}$부터

${\displaystyle 0=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots }$

가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\displaystyle r=r_{0}.r_{1}r_{2}r_{3}\cdots r_{n-1}}$

엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle r=\sum _{n=0}^{\infty }10^{-n}r_{n}=\lim _{n\to \infty }r_{0}.r_{1}r_{2}\cdots r_{n}}$

또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle 9=r_{n}=r_{n+1}=r_{n+2}=\cdots }$인 ${\displaystyle n}$이 존재하지 않는다.

즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999… = 1이며, 1.234999... = 1.235이며, 37.271999...=37.272이다.간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.

유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=0.5}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333\cdots }$

무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다.. 그 예는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }$

${\displaystyle \pi =3.14159265358979323846\cdots }$

종류

소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.

유한 소수

소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, 영어: finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다.

십진법과 이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 ${\displaystyle 2^{m}5^{n}}$ (${\displaystyle m,n}$은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 ${\displaystyle 2^{m}5^{n}}$ (${\displaystyle m,n}$은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

마찬가지로, 육진법과 십이진법과 십팔진법에서는 만약 기약 분수의 분모가 ${\displaystyle 2^{m}3^{n}}$ (${\displaystyle m,n}$은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 ${\displaystyle 2^{m}3^{n}}$ (${\displaystyle m,n}$은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

유한 소수의 예는 다음과 같다. 가분수도 게재한다.

십진법

${\displaystyle 1/2=0.5}$

${\displaystyle 3/4=0.75}$

${\displaystyle 1/5=0.2}$

${\displaystyle 8/5=1.6}$

${\displaystyle 3/8=0.375}$

${\displaystyle 1/16=0.0625}$

${\displaystyle 27/16=1.6875}$

${\displaystyle 7/20=0.35}$

${\displaystyle 8/25=0.32}$

${\displaystyle 1/50=0.02}$

${\displaystyle 11/64=0.171875}$

${\displaystyle 1/80=0.0125}$

${\displaystyle 8/125=0.064}$

${\displaystyle 13/160=0.08125}$

육진법

${\displaystyle 1/2=0.3}$

${\displaystyle 1/3=0.2}$

${\displaystyle 3/4=0.43}$

${\displaystyle 3/12=0.213}$

${\displaystyle 5/13=0.32}$

${\displaystyle 41/13=2.44}$

${\displaystyle 11/20=0.33}$

${\displaystyle 1/24=0.0213}$

${\displaystyle 43/24=1.4043}$

${\displaystyle 1/30=0.02}$

${\displaystyle 12/43=0.144}$

${\displaystyle 1/120=0.0043}$

${\displaystyle 15/144=0.101043}$

${\displaystyle 1/213=0.0024}$

${\displaystyle 21/240=0.04513}$

보다 기본적으로, ${\displaystyle b}$가 2이상의 자연수일 때, ${\displaystyle b}$진법으로 소수를 나타내었을 때, 어떤 기약 분수가 유한 소수가 되기 위한 필요충분조건은 해당 분수를 기약 분수로 바꾸고 난 후 분모른 소인수분해할 때, 분모의 모든 소인수가 ${\displaystyle b}$의 소인수로 이루어져 있어야 되는 것이다. 즉, 기약분수의 분모에서 그 외의 다른 소인수가 하나 이상 들어가 있으며 ${\displaystyle b}$진법 소수 표현이 순환소수가 된다는 얘기다.

순환 소수

 이 부분의 본문은 순환 소수입니다.

소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수(循環小數, 영어: repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.

십진법

${\displaystyle 1/3=0.{\dot {3}}=0.333\cdots }$

${\displaystyle 1/6=0.1{\dot {6}}=0.1666\cdots }$

${\displaystyle 1/7=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}=0.142857142857142857\cdots }$

${\displaystyle 5/9=0.{\dot {5}}=0.555\cdots }$

${\displaystyle 25/9=2.{\dot {7}}=2.777\cdots }$

${\displaystyle 3/11=0.{\dot {2}}{\dot {7}}=0.272727\cdots }$

${\displaystyle 8/27=0.{\dot {2}}9{\dot {6}}=0.296296\cdots }$

${\displaystyle 1/48=0.0208{\dot {3}}=0.0208333\cdots }$

${\displaystyle 1/81=0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}=0.012345679012345679\cdots }$

육진법

${\displaystyle 1/5=0.{\dot {1}}=0.111\cdots }$

${\displaystyle 12/5=1.{\dot {3}}=1.333\cdots }$

${\displaystyle 1/11=0.{\dot {0}}{\dot {5}}=0.050505\cdots }$

${\displaystyle 3/14=0.1{\dot {4}}=0.1444\cdots }$

${\displaystyle 1/15=0.{\dot {0}}31345242{\dot {1}}=0.03134524210313452421\cdots }$

${\displaystyle 12/41=0.{\dot {1}}530{\dot {4}}=0.1530415304\cdots }$

${\displaystyle 1/212=0.0024{\dot {1}}=0.0024111\cdots }$

비순환 소수

 이 부분의 본문은 순환소수입니다.

순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, 영어: non-repeating decimal)라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수가 2와 5) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다.

십진 표기

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }$

${\displaystyle \pi =3.14159265\cdots }$

${\displaystyle e=2.718281\cdots }$

육진 표기

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.225245314\cdots }$

${\displaystyle \pi =3.0503300514\cdots }$

${\displaystyle e=2.41505204\cdots }$

무한소수

 이 부분의 본문은 무리수입니다.

 원주율 문서를 참고하십시오.

무리수 (무한소수)는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다

실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.

실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.

같이 보기

• 십진법
• 급수 (수학)
• IEEE 754
• 시몬 스테빈