수학 에서 삼각함수 항등식 (三角函數恒等式, 영어 : trigonometric identity )은 삼각함수 가 나오는 항등식 을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분 에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서
sin
2
{\displaystyle \sin ^{2}}
,
cos
2
{\displaystyle \cos ^{2}}
등의 함수는
sin
2
x
=
(
sin
x
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}{x}=(\sin {x})^{2}}
와 같이 정의된다.
cos
x
=
sin
(
x
+
π
2
)
{\displaystyle \cos {x}=\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)}
tan
x
=
sin
x
cos
x
cot
x
=
cos
x
sin
x
=
1
tan
x
{\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {cot} {x}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}={\frac {1}{\tan {x}}}}
sec
x
=
1
cos
x
csc
x
=
1
sin
x
{\displaystyle \operatorname {sec} {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {csc} {x}={\frac {1}{\sin {x}}}}
다음 관계는 단위원 을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수 의 주기성을 나타낸다.
sin
x
=
sin
(
x
+
2
k
π
)
cos
x
=
cos
(
x
+
2
k
π
)
tan
x
=
tan
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \sin {x}=\sin(x+2k\pi )\qquad \cos {x}=\cos(x+2k\pi )\qquad \tan {x}=\tan(x+k\pi )}
sec
x
=
sec
(
x
+
2
k
π
)
csc
x
=
csc
(
x
+
2
k
π
)
cot
x
=
cot
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \sec {x}=\sec(x+2k\pi )\qquad \csc {x}=\csc(x+2k\pi )\qquad \cot {x}=\cot(x+k\pi )}
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
−
s
i
n
θ
,
c
o
s
θ
{\displaystyle -sin\theta ,cos\theta }
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
,
sin
(
π
2
−
x
)
=
cos
x
,
sin
(
π
−
x
)
=
sin
x
cos
(
−
x
)
=
cos
x
,
cos
(
π
2
−
x
)
=
sin
x
,
cos
(
π
−
x
)
=
−
cos
x
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
,
tan
(
π
2
−
x
)
=
cot
x
,
tan
(
π
−
x
)
=
−
tan
x
cot
(
−
x
)
=
−
cot
x
,
cot
(
π
2
−
x
)
=
tan
x
,
cot
(
π
−
x
)
=
−
cot
x
sec
(
−
x
)
=
sec
x
,
sec
(
π
2
−
x
)
=
csc
x
,
sec
(
π
−
x
)
=
−
sec
x
csc
(
−
x
)
=
−
csc
x
,
csc
(
π
2
−
x
)
=
sec
x
,
csc
(
π
−
x
)
=
csc
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin(-x)=-\sin {x},&&\sin \left({\pi \over 2}-x\right)=\cos {x},&&\sin \left(\pi -x\right)=\;\;\sin {x}\\\cos(-x)=\;\;\cos {x},&&\cos \left({\pi \over 2}-x\right)=\sin {x},&&\cos \left(\pi -x\right)=-\cos {x}\\\tan(-x)=-\tan {x},&&\tan \left({\pi \over 2}-x\right)=\cot {x},&&\tan \left(\pi -x\right)=-\tan {x}\\\cot(-x)=-\cot {x},&&\cot \left({\pi \over 2}-x\right)=\tan {x},&&\cot \left(\pi -x\right)=-\cot {x}\\\sec(-x)=\;\;\sec {x},&&\sec \left({\pi \over 2}-x\right)=\csc {x},&&\sec \left(\pi -x\right)=-\sec {x}\\\csc(-x)=-\csc {x},&&\csc \left({\pi \over 2}-x\right)=\sec {x},&&\csc \left(\pi -x\right)=\;\;\csc {x}\end{matrix}}}
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.
sin
(
x
+
π
2
)
=
cos
x
,
sin
(
x
+
π
)
=
−
sin
x
cos
(
x
+
π
2
)
=
−
sin
x
,
cos
(
x
+
π
)
=
−
cos
x
tan
(
x
+
π
2
)
=
−
cot
x
,
tan
(
x
+
π
)
=
tan
x
cot
(
x
+
π
2
)
=
−
tan
x
,
cot
(
x
+
π
)
=
cot
x
sec
(
x
+
π
2
)
=
−
csc
x
,
sec
(
x
+
π
)
=
−
sec
x
csc
(
x
+
π
2
)
=
sec
x
,
csc
(
x
+
π
)
=
−
csc
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\cos {x},&&\sin \left(x+\pi \right)=-\sin {x}\\\cos \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\sin {x},&&\cos \left(x+\pi \right)=-\cos {x}\\\tan \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\cot {x},&&\tan \left(x+\pi \right)=\;\;\tan {x}\\\cot \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\tan {x},&&\cot \left(x+\pi \right)=\;\;\cot {x}\\\sec \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\csc {x},&&\sec \left(x+\pi \right)=-\sec {x}\\\csc \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\sec {x},&&\csc \left(x+\pi \right)=-\csc {x}\end{matrix}}}
또한, 주기 가 같지만, 상 (phase)이 다른 사인파들의 선형결합 은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
a
sin
x
+
b
cos
x
=
a
2
+
b
2
⋅
sin
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}
여기서
φ
=
{
arctan
b
a
,
if
a
≥
0
arctan
b
a
±
π
,
if
a
<
0
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}},&{\mbox{if }}a\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}\pm \pi ,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}}
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
tan
2
x
+
1
=
sec
2
x
cot
2
x
+
1
=
csc
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1\qquad \tan ^{2}{x}+1=\sec ^{2}{x}\qquad \cot ^{2}{x}+1=\csc ^{2}{x}}
역삼각함수 라고도 한다.
x
>
0
{\displaystyle x>0}
이면
arctan
x
+
arccot
x
=
π
2
.
{\displaystyle \arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}.}
만약
x
<
0
{\displaystyle x<0}
이면, 등식 우변이
−
π
2
{\displaystyle \textstyle -{\frac {\pi }{2}}}
가 된다.
arctan
x
+
arctan
y
=
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \arctan {x}+\arctan {y}=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin {x})={\sqrt {1-x^{2}}}}
리처드 파인만 은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}
그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (
x
=
20
∘
,
k
=
3
{\displaystyle \scriptstyle x=20^{\circ },k=3}
을 넣고,
sin
x
=
sin
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \scriptstyle \sin x=\sin(180^{\circ }-x)}
를 이용 우변을 정리한다.)
∏
j
=
0
k
−
1
cos
(
2
j
x
)
=
sin
(
2
k
x
)
2
k
sin
x
{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin {x}}}}
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
cos
36
∘
+
cos
108
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}}}
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}}
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
cos
2
π
21
+
cos
2
(
2
π
)
21
+
cos
4
(
2
π
)
21
+
cos
5
(
2
π
)
21
+
cos
8
(
2
π
)
21
+
cos
10
(
2
π
)
21
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos {\frac {2(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {4(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {5(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {8(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {10(2\pi )}{21}}={\frac {1}{2}}}
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21 ⁄ 2 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식 (cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수 값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0