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군론에서 사원수군(四元數群, 영어: quaternion group)은 단위 사원수 i, j, k로 생성되는 유한군이다.
사원수군은 원소의 개수가 8개인 비아벨 군이다. 사원수군은 흔히 Q로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.
여기에서 1은 항등원을 나타내며 (-1)2 = 1이 성립한다. 또한 Q의 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
사원수군의 군 표(Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
−1 | −1 | 1 | −i | i | −j | j | −k | k |
i | i | −i | −1 | 1 | k | −k | −j | j |
−i | −i | i | 1 | −1 | −k | k | j | −j |
j | j | −j | −k | k | −1 | 1 | i | −i |
−j | −j | j | k | −k | 1 | −1 | −i | i |
k | k | −k | j | −j | −i | i | −1 | 1 |
−k | −k | k | −j | j | i | −i | 1 | −1 |
표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji이다.
사원수군은 GL2(C)의 부분군으로 나타낼 수 있다.[1] 의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다.
여기에서 는 허수 단위이다.
사원수군의 중심은 이며, 사원수군의 교환자 부분군 역시 이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군 이다.
사원수군의 부분군은 (자명군과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
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