블록 설계

조합론에서 블록 설계(block設計, 영어: block design 블록 디자인^[*])는 같은 크기의 일련의 부분 집합들이 주어져 있는 유한 집합이다.^[1][2][3][4] 이 경우, 이러한 부분 집합을 블록(영어: block)이라고 하며, 블록 설계는 (예를 들어) “${\displaystyle k}$개의 원소들을 포함하는 블록의 수는 원소의 선택에 상관없이 ${\displaystyle \lambda }$개”와 같은 꼴의 조건을 만족시켜야 한다.

정의

존슨 결합 도식 속의 블록 설계

세 자연수 ${\displaystyle t,k,n\in \mathbb {N} }$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 크기 ${\displaystyle n}$의 유한 집합 ${\displaystyle X}$. 그 원소를 점(點, 영어: point)이라고 한다.
• ${\displaystyle X}$의, 크기 ${\displaystyle k}$의 부분 집합들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Pow} _{k}(X)}$. 그 원소를 블록(영어: block)이라고 한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Pow} _{k}(X)}$는 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들 가운데 크기가 ${\displaystyle k}$인 것들로 구성된, 멱집합의 부분 집합이다.)

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle t}$개의 서로 다른 점들이 주어졌을 때, 이 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 선택한 점들에 상관없는 값 ${\displaystyle \lambda _{t}>0}$이다. (0을 제외하는 것은 피셔 부등식 등을 따르지 않는 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}=\varnothing )}$를 배제하기 위함이다.)

두 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$, ${\displaystyle (X',{\mathcal {B}}')}$가 주어졌다고 하자. 만약 이 둘 사이에 전단사 함수

${\displaystyle \iota \colon X\to X'}$

가 존재하여

${\displaystyle \{\iota (B)\}_{B\in {\mathcal {B}}}={\mathcal {B}}'}$

라면, ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$와 ${\displaystyle (X',{\mathcal {B}}')}$가 서로 동형이라고 한다.

${\displaystyle \lambda _{t}=1}$인 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계는 ${\displaystyle (t,k,n)}$-슈타이너 계(Steiner系, 영어: Steiner system 스타이너 시스템^[*])라고 한다. 보통, ${\displaystyle \lambda _{t}=1}$인 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$는 ${\displaystyle \operatorname {S} (t,k,n)}$로 표기된다.

일반적 결합 도식 속의 블록 설계

위 정의는 결합 도식의 개념을 통해 일반화된다.^{[5][6]:2483–2486, §Ⅲ}

구체적으로, 결합 도식 ${\displaystyle (X,\{D_{i}\in \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {Z} )\}_{i\in I})}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 복소수 계수 보스-메스너 대수

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{D_{i}\}_{i\in I}\subseteq \operatorname {Mat} (|X|,|X|;\mathbb {C} )}$

는 반단순 대수이며, 따라서 그 최소 멱등원들의 집합

${\displaystyle (E_{a})_{a\in A}}$

${\displaystyle E_{a}E_{b}=\delta _{ab}E_{a}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}E_{a}=1_{\mathcal {A}}}$

를 정의할 수 있다. 특히,

${\displaystyle E_{0}={\frac {1}{|X|}}{\mathsf {J}}_{|X|\times |X|}}$

는 항상 최소 멱등원이다. (${\displaystyle {\mathsf {J}}_{|X|\times |X|}}$는 모든 성분이 1인 ${\displaystyle |X|\times |X|}$ 정사각 행렬이다.)

이제, 계수

${\displaystyle E_{a}=\sum _{i=0}^{|I|}Q_{ai}D_{i}}$

들을 정의할 수 있다. ${\displaystyle X}$의 부분 집합(즉, ${\displaystyle X}$ 속의 블록 부호) ${\displaystyle C\subseteq X}$가 주어졌을 때, 내부 분포

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {|C^{2}\cap R_{i}|}{|C|}}}$

및 쌍대 내부 분포

${\displaystyle \beta _{a}=\sum _{i\in I}Q_{ai}\alpha _{i}}$

를 정의할 수 있다.

만약 어떤 부분 집합 ${\displaystyle E\subseteq A}$가 주어졌을 때, 만약 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle C\subseteq X}$가 다음 조건을 만족시킬 경우, ${\displaystyle E}$-블록 설계(영어: ${\displaystyle E}$-block design)라고 한다.^{[6]:2484, Definition 7}

임의의 ${\displaystyle a\not \in E}$에 대하여, ${\displaystyle \beta _{a}=0}$

만약 ${\displaystyle X}$가 존슨 결합 대수일 때, 이는 첫째 정의로 귀결된다.

연산

유도 블록 설계

임의의 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle X'=X\setminus \{x\}}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{B\setminus \{x\}\colon x\in B\in {\mathcal {B}}\}}$

는 ${\displaystyle (t-1,k-1,n-1)}$-블록 설계를 이루며,

${\displaystyle \lambda '_{t-1}=\lambda _{t}}$

이다. 이를 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$의 유도 블록 설계(誘導block設計, 영어: derived block design)이라고 한다. (서로 다른 점에서 취한 유도 블록 설계는 서로 동형이지 못할 수 있다.)

특히, 슈타이너 계의 유도 블록 설계는 항상 슈타이너 계이다.

결합 행렬

${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$에서, ${\displaystyle X=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{1},\dotsc ,B_{\lambda _{0}}\}}$ 위에 각각 임의로 전순서를 주자. 그렇다면, ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$의 결합 행렬(영어: incidence matrix)은 다음과 같은 ${\displaystyle n\times \lambda _{0}}$ 행렬

${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,\lambda _{0};\mathbb {F} _{2})}$

이다.

${\displaystyle M_{ij}={\begin{cases}1&x_{i}\in B_{j}\\0&x_{i}\not \in B_{j}\end{cases}}}$

정사각 블록 설계의 경우 결합 행렬은 정사각 행렬이다.

성질

임의의 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$가 주어졌을 때, 다음 정수들을 정의하자.

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\lambda _{t}{\binom {n-i}{t-i}}}{\binom {k-i}{t-i}}}\qquad (i\in \{0,1,\dotsc ,t\})}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle 0\leq i\leq t}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle i}$개의 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 정확히 ${\displaystyle \lambda _{i}}$이다.

특히, ${\displaystyle i=0}$일 경우,

• 블록의 수는 ${\displaystyle \textstyle \lambda _{0}=\lambda _{t}{\binom {n}{t}}/{\binom {k}{t}}}$이다.

이에 따라, 모든 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계는 임의의 ${\displaystyle 0\leq t'\leq t}$에 대하여 ${\displaystyle (t',k,n)}$-블록 설계이다.

존재의 필요 조건

피셔 부등식(Fisher不等式, 영어: Fisher’s inequality)에 따르면,^[7] 임의의 ${\displaystyle (2,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |X|\geq \lambda _{0}}$

${\displaystyle k\geq \lambda _{1}}$

(${\displaystyle X\lambda _{1}=k\lambda _{0}}$이므로, 두 조건은 사실 동치이다.) 이 부등식을 포화시키는 블록 설계, 즉 점의 수가 블록의 수와 같은 2-블록 설계를 정사각 블록 설계(正四角block設計, 영어: square block matrix) 또는 대칭 블록 설계(對稱block設計, 영어: symmetric block design)라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$에 대하여, 다음이 성립한다.^[8]

${\displaystyle \lambda _{0}\geq {\binom {n}{\lfloor t/2\rfloor }}}$

브룩-라이저-차울라 정리(Bruck-Ryser-चावला定理, 영어: Bruck–Ryser–Chowla theorem)에 따르면,^[9][10] 임의의 ${\displaystyle (t,k,n)}$-블록 설계 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |X|=\lambda _{0}}$라면,

• 만약 ${\displaystyle |X|}$가 짝수라면, ${\displaystyle k-\lambda _{2}}$는 제곱수이다.
• 만약 ${\displaystyle |X|}$가 홀수라면, ${\displaystyle x^{2}=(k-\lambda _{2})y^{2}+(-1)^{(|X|-1)/2}\lambda _{2}z^{2}}$를 만족시키는 정수 ${\displaystyle (x,y,z)\neq (0,0,0)}$가 존재한다.

개수

작은 크기의 ${\displaystyle (t=2,k=3,n)}$-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A30129)

${\displaystyle n}$	1	3	7	9	13	15	19	…
${\displaystyle (2,3,n)}$-슈타이너 계의 동형류의 수	1	1	1	1	2	80	11084874829

작은 크기의 ${\displaystyle (t=3,k=4,n)}$-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A51390)

${\displaystyle n}$	1	2	4	8	10	14	16	…
${\displaystyle (3,4,n)}$-슈타이너 계의 동형류의 수	1	1	1	1	1	4	1054163

예

다음과 같은 (2,4,8)-블록 설계를 생각하자.

${\displaystyle X=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{0123,0124,0156,0257,0345,0367,0467,1267,1346,1357,1457,2347,2356,2456\}}$

그렇다면,

• 총 8개의 점이 있다 (${\displaystyle n=8}$).
• 모든 블록의 크기는 4이다 (${\displaystyle k=4}$).
• 블록의 수는 14이다 (${\displaystyle \lambda _{0}=14}$).
• 임의의 한 점은 7개의 블록에 포함된다 (${\displaystyle \lambda _{1}=7}$).
• 임의의 두 점은 3개의 블록에 포함된다 (${\displaystyle \lambda _{2}=3}$).

파노 평면

파노 평면 (유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 위의 사영 평면) ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{2}}^{2}}$을 생각하자.

여기서, 각 선을 블록으로 생각하자. 즉, 다음과 같은 블록 설계를 생각하자.

${\displaystyle X=\{1,2,3,4,5,6,7\}}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{123,145,167,246,257,347,356\}}$

이는 ${\displaystyle (2,3,7)}$-슈타이너 계를 이룬다.

• 총 7개의 점이 있다 (${\displaystyle n=7}$).
• 모든 블록은 정확히 세 개의 점을 갖는다 (${\displaystyle k=3}$).
• 블록의 수는 7이다 (${\displaystyle \lambda _{0}=7}$).
• 모든 점은 정확히 세 개의 블록에 포함된다 (${\displaystyle \lambda _{1}=3}$).
• 임의의 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 이를 포함하는 블록은 정확히 한 개이다. (${\displaystyle \lambda _{2}=1}$).

이진 골레 부호

 이 부분의 본문은 이진 골레 부호입니다.

이진 골레 부호 ${\displaystyle G_{24}\subseteq \mathbb {F} _{2}^{24}}$는 759개의 옥타드(값이 1인 성분이 8개인 벡터)를 가지며, 각 옥타드를 ${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,24\}}$의, 크기 8의 부분 집합으로 여길 수 있다. 이에 따라, 이진 골레 부호의 옥타드의 집합은 (5,8,24)-슈타이너 계를 이룬다. 이는 비트 설계(Witt設計, 영어: Witt design)라고 불린다.

아다마르 설계

 이 부분의 본문은 아다마르 설계입니다.

${\displaystyle 4m\times 4m}$ 아다마르 행렬이 주어졌으며, 그 첫 열과 첫 행이 모두 1로 구성돼 있다고 하자. 그렇다면, 첫 열과 첫 행을 제거하고, 나머지 성분 가운데 −1을 0으로 치환한 뒤, 이를 어떤 정사각 블록 설계의 결합 행렬로 해석할 수 있다. 이를 아다마르 설계라고 하며, 이는 ${\displaystyle \lambda _{2}=m-1}$인 ${\displaystyle (2,2m,4m-1)}$-블록 설계이다.

자명한 블록 설계

임의의 유한 집합 ${\displaystyle X}$ 및 ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {Pow} _{k}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$는 ${\displaystyle \lambda _{0}=|{\mathcal {B}}|}$인 ${\displaystyle (0,k,|X|)}$-블록 설계를 이룬다.

임의의 유한 집합 ${\displaystyle X}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle 1\leq k\leq |X|}$에 대하여, ${\displaystyle (X,\operatorname {Pow} _{k}(X))}$는 ${\displaystyle \textstyle (k,k,|X|)}$-블록 설계를 이루며, 이 경우

${\displaystyle \lambda _{i}={\binom {|X|-i}{k-i}}\qquad (0\leq i\leq k)}$

이다. 이는 ${\displaystyle t=k}$이므로 정사각 블록 설계이며, ${\displaystyle \lambda _{t}=1}$이므로 슈타이너 계이다.

역사

웨슬리 스토커 바커 울하우스

야코프 슈타이너

1844년에 영국의 보험계리인 웨슬리 스토커 바커 울하우스(영어: Wesley Stoker Barker Woolhouse, 1809~1893)가 자신이 편집자로 있던 잡지 《레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리》(영어: Lady’s and Gentleman’s Diary)에서 블록 설계에 대한 퍼즐을 제시하였다.^[11] 그 전문(全文)은 다음과 같다.

“	XV. 상금 문제 (1733번). 편집부 출제. ${\displaystyle n}$개의 기호들로 만들 수 있는, 각각 ${\displaystyle p}$개의 기호를 갖는 조합들의 수를 계산하라. 다만, 임의의 ${\displaystyle q}$개의 기호들의 조합은 두 개 이상에 속할 수 없다. XV. Oʀ PRIZE QUEST. (1733) ; by the Editor. Determine the number of combinations that can be made out of n symbols, p symbols in each; with this limitation, that no combination of q symbols, which may appear in any one of them shall be repeated in any other.	”
	— [11]

이는 현대적 용어로는 ${\displaystyle (q,p,n)}$-슈타이너 계를 다루는 것이다.

이후 이 문제는 1847년에 영국의 잉글랜드 성공회 사제 토머스 페닝턴 커크먼(영어: Thomas Penyngton Kirkman, 1806~1895)이 해결하였다.^[12] 그러나 이들의 논문은 크게 관심을 불러일으키지 못했다.

이후 울하우스와 커크먼과 독자적으로 야코프 슈타이너가 1853년에 블록 설계에 대한 논문을 출판하였다.^[13] 이후 그의 이름을 따 ${\displaystyle \lambda _{t}=1}$인 ${\displaystyle t}$-블록 설계는 “슈타이너 계”로 불리게 되었다.

비트 설계는 1931년에 로버트 대니얼 카마이클이 최초로 발견하였으며,^[14] 에른스트 비트가 1938년에 마티외 군을 연구하던 도중 재발견하였다.^[15]

피셔 부등식은 로널드 피셔가 1940년에 증명하였다.^[7]