미분학적 공간

기하학에서, 미분학적 공간(微分學的空間, 영어: diffeological space 디피올로지컬 스페이스^[*])은 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다.^[1] 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 미분학적 구조(微分學的構造, 영어: diffeology 디피올로지^[*]) ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(n_{i},U_{i},f_{i})\}_{i\in I}}$는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.

• ${\displaystyle (n,U,f)}$에서, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$은 자연수이며, ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$는 ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간의 열린집합이며, ${\displaystyle f\colon U\to X}$는 함수이다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• 임의의 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 임의의 원소 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x}$ 값의 상수 함수 ${\displaystyle (n,U,f\colon U\to X)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$의 원소이다.
• 임의의 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon U\to X}$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, ${\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}}$이다.

  임의의 ${\displaystyle u\in U}$에 대하여, ${\displaystyle (n,V,f\upharpoonright V)\in {\mathcal {D}}}$인 ${\displaystyle u}$의 열린 근방 ${\displaystyle u\in V\subseteq U}$가 존재한다.

• 임의의 ${\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}}$ 및 임의의 ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ 및 임의의 매끄러운 함수 ${\displaystyle \phi \colon V\to U}$에 대하여, ${\displaystyle (m,V,f\circ \phi )\in {\mathcal {D}}}$이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다.

두 미분학적 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {D}})}$, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}})}$ 사이의 매끄러운 함수 ${\displaystyle \phi \colon X\to Y}$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 ${\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle (n,U,\phi \circ f)\in {\mathcal {E}}}$이다.

이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

성질

미분학적 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {D}})}$ 위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle B\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall (n,U,f)\in {\mathcal {D}}\colon f^{-1}(B)\in \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})}$은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 ${\displaystyle f}$들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

연산

미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

예

모든 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 열린집합에서 ${\displaystyle M}$으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 몫

${\displaystyle {\frac {\mathbb {R} }{\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} }}}$

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 ${\displaystyle \alpha }$가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

역사

미분학적 공간의 개념을 발견한 장마리 수리오

미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(프랑스어: Jean-Marie Souriau, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.^[2] ‘미분학적 공간’(프랑스어: espace difféologique 에스파스 디페올로지크^[*])이라는 이름은 프랑스어: difféomorphisme 디페오모르피즘^[*](미분 동형 사상)과 프랑스어: espace topologique 에스파스 토폴로지크^[*](위상 공간)의 합성어이다.

참고 문헌

1. Iglesias-Zemmour, Patrick (2013). 《Diffeology》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 185. American Mathematical Society.
2. Souriau, Jean-Marie (1980). 〈Groupes différentiels〉. 《Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 836. Springer-Verlag. 91–128쪽. doi:10.1007/BFb0089728.

외부 링크

• “Diffeological space”. 《nLab》 (영어).