대수군

대수기하학에서 대수군(代數群, 영어: algebraic group)은 대수다양체를 이루는 군이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle k}$에 대한 대수군 ${\displaystyle G\to \operatorname {Spec} k}$는 군 연산

${\displaystyle (-\cdot -)\colon G\times G\to G}$

${\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G}$

이 갖추어져 있고, 이들이 정규함수(regular function)인 대수다양체이다. 즉, 대수다양체의 범주에서의 군 대상이다.

대수군의 대수부분군(영어: algebraic subgroup)은 자리스키 위상에 따라 닫혀 있고, 부분군을 이루며, 대수다양체를 이루는 부분집합이다.

분류

선형대수군(영어: linear algebraic group)은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이며, 아벨 다양체는 아벨 군을 이루는 대수군이다.

슈발레 구조 정리(영어: Chevalley’s structure theorem)^[1][2]에 따라서, 모든 연결 대수군 ${\displaystyle G}$은 아벨 다양체 ${\displaystyle A}$의 선형대수군 ${\displaystyle H}$으로의 군 확대로 간주할 수 있다. 즉, 모든 대수군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to H\to G\to A}$

여기서

• ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 대수부분군이다.
• ${\displaystyle A}$는 아벨 다양체이다.

예

• 모든 유한군은 자명하게 대수군을 이룬다.
• 선형대수군(영어: linear algebraic group)은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이다.
  • 일반선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,k)}$
  • 특수선형군 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,k)}$
  • 심플렉틱 군 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,k)}$
  • 가역 상삼각행렬들의 군 ${\displaystyle \operatorname {Upper} (n,k)}$
  • 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle q}$에 대하여, 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (q)}$ 및 특수직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (q)}$
• 아벨 다양체는 아벨 군인 대수군이다.
  • 타원 곡선은 1차원 아벨 다양체이다.

반면, 예를 들어 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$은 복소 대수군이 아니다.

같이 보기

• 보렐 부분군

각주

1. Chevalley, C. (1960). “Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 (프랑스어) 39: 307–317. ISSN 0021-7824. MR 0126447.
2. Conrad, Brian (2002). “A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups” (PDF). 《Journal of the Ramanujan Mathematical Society》 (영어) 17 (1): 1–18. ISSN 0970-1249. MR 1906417.

• Humphreys, James E. (1972). 《Linear Algebraic Groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 21. Springer. ISBN 978-0-387-90108-4. MR 0396773.
• Lang, Serge (1983). 《Abelian varieties》 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-90875-5.
• Mumford, David (1970). 《Abelian varieties》 (영어). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-560528-0. OCLC 138290.
• Springer, Tonny A. (1998). 《Linear algebraic groups》. Progress in Mathematics (영어) 9 2판. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4021-7. MR 1642713.
• Waterhouse, William C. (1979). 《Introduction to affine group schemes》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 66. Berlin, New York: Springer. ISBN 978-0-387-90421-4.
• Weil, André (1971). 《Courbes algébriques et variétés abéliennes》 (프랑스어). Paris: Hermann. OCLC 322901.

외부 링크

• “Algebraic group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.