리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 영어: semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.
체
위의 리 대수
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 영어: simple Lie algebra)라고 한다.[1]:32
의 리 대수 아이디얼은
과
전체 밖에 없다.
는 아벨 리 대수가 아니다. 즉,
인
가 존재한다.
의 표수가 0이라고 하고,
가
위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.
의 가해(영어: solvable) 아이디얼은
밖에 없다. 즉,
의 근기(영어: radical)가
이다.[1]:32
의 아벨 아이디얼은
밖에 없다.
는 단순 리 대수들의 직합이다.
- (카르탕 반단순성 조건 영어: Cartan’s criterion for semisimplicity)
의 킬링 형식
는 비퇴화 쌍선형 형식이다.[1]:50, Theorem 1.45
반단순 리 군
반단순 리 군(半單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.[1]:105 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라
,
,
,
, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.
복소수 단순 리 대수
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.
모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.
,
(복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
,
(홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
,
(복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
,
(짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
- 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8
- 𝖋4
- 𝖌2
이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.
복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.
자세한 정보
,
...
복소수 리 대수 | 차원 | 실수 리 대수 | 로마 숫자 표기 | 다른 이름 | 극대 콤팩트 부분 리 대수 |
An |
![{\displaystyle n^{2}+2n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876cd0a52219abfefef0473cdb83b11c9bb06b27) |
An(−n2−2n) (콤팩트) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n+1;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629996fe986a132e077e15cacf53a355efb1837d) | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n+1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa788f8cc011b779b8381272b043bbd6cbdc40c3) |
An(n) (분할) | AⅠ | ![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8bcd199dd835b49946455bcbb392be9c00966c) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n+1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac4e9d83f0b1b081cdcef384800af7bc701b92f) |
An(−n−2) | AⅡ | , ( ) | ![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2m)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0621f7be0c30d151db882edd7591055d495d36c4) |
| AⅢ | ( ) | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(p)\oplus {\mathfrak {su}}(q)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f4801c7a3766394baac4dcb455cfce16078886) |
Bn |
![{\displaystyle 2n^{2}+n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f666e0b56b0e831b0a1c3d2c07df2b69f2016682) |
Bn(−2n2−n) (콤팩트) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf40d8167f178085676c9d1d5bd1966b0cda2e0) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4249e2d6a141f25bdc14e652e1112af67cd0ebe3) |
Bn(n) (분할) | BⅠ | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n+1;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067812a52a00c42286eae0083e44c958433a2084) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {o}}(n+1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70aff515f42d1a87e134a86990c2cde83b4160c7) |
| BⅡ | ( ) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(p)\oplus {\mathfrak {o}}(q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cee3ef3d2d0f5e0e8cbe9419bd37e7aaebaf9) |
Cn |
![{\displaystyle 2n^{2}+n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f666e0b56b0e831b0a1c3d2c07df2b69f2016682) |
Cn(−2n2−n) (콤팩트) | | , ![{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {H} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a37aacc11b02582947a2f1f1a3f9eb156be0773) | ![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1748d7200b5054e8d73063382b262e687e1b01d5) |
Cn(n) (분할) | CⅠ | ![{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee7a5aa12fe4f80f8789ef1d98d801a9bb652f5) | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ce9296c740133e983148ce98447e828dc8aff3) |
| CⅡ | ( ) | ![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2p)\oplus {\mathfrak {usp}}(2q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526e512d862f16b2bb19e96dd77d608cfdff7a8f) |
Dn |
![{\displaystyle 2n^{2}-n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df21ba96dbea095083a497a6c3617a40e103ea1) |
Dn(−2n2+n) (콤팩트) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d35c07d0c162d2817159636fcde5b8f9281f010) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999a6cbbf070d18ed34aa5023973b447b08b29a4) |
Dn(n) (분할) | DⅠ | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bae074b6264771dc14113426a0c39adf4e31b20) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {o}}(n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992a0c58cba898be4b9d372fb8a100236338aa8c) |
| DⅡ | ( ) | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(p)\oplus {\mathfrak {o}}(q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cee3ef3d2d0f5e0e8cbe9419bd37e7aaebaf9) |
Dn(−n) | DⅢ | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34017ea8381764af9b41429be7c98d6f90430b32) | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ce9296c740133e983148ce98447e828dc8aff3) |
E6 |
78 |
E6(−78) (콤팩트) | | | ![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f478652f321cdcdc6a3a0185a7beac54022adb) |
E6(6) (분할) | EⅠ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(8)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e04c6baedae29f8955ad2b5aa85e41e848c3f0) |
E6(2) | EⅡ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(6)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a31a0317254f9e8a3580f8792c2000d927459e) |
E6(−14) | EⅢ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(10)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08141f7cc753237419c992feef92455786eea4eb) |
E6(−26) | EⅣ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34638591485ad442df11e5fb2fff575eb02a78b) |
E7 |
133 |
E7(−133) (콤팩트) | | | ![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f344b465718da83d20783caafaa659afc61ad644) |
E7(7) (분할) | EⅤ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(8)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e04c6baedae29f8955ad2b5aa85e41e848c3f0) |
E7(−5) | EⅥ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(12)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8756bcf86399399caf93e53db39019b78d6f144a) |
E7(−25) | EⅦ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\oplus {\mathfrak {u}}(1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df23e681452a92c407cf1a5ad9fc6195e48a473) |
E8 |
248 |
E8(−248) (콤팩트) | | | ![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ae581bd92e06f5a31fb26d91f745d71941fc91) |
E8(8) (분할) | EⅧ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6f7881ac15704e17daa483bc73dc4b9d3d60a6) |
E8(−24) | EⅨ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {su}}(2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f3c36b1a4784fd5d92196d9a9b2ab31030a7f1) |
F4 |
52 |
F4(−52) (콤팩트) | | | ![{\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34638591485ad442df11e5fb2fff575eb02a78b) |
F4(4) (분할) | FⅠ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(3)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0d22415bee47bb19fd0e9e0289f364420fc080) |
F4(−20) | FⅡ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(9)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b9dbbf5316a6cdcc96bc99bbc451712796540f) |
G2 |
14 |
G2(−14) (콤팩트) | | | ![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3018d455dacf6b043c8ac4f2bfcfceef4fffd5) |
G2(2) (분할) | GⅠ | | ![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eadd5d152fdc10790438957ef5b1f8bc4534a5f) |
닫기
위 표에서,
은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가
일 때,
이다. 즉,
는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우
이며, 콤팩트 형식의 경우
는 −1 × 리 대수의 차원이다.
위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.
(3차원 회전군)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {sl}}(1;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260578208eceb16d7a3c9dbd01295d853e47d85c)
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(1,1)\cong {\mathfrak {o}}(1,2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b601d395ab44c5657bd93d3ade4eede7ff4c8780)
(5차원 회전군)
![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdb865cbeb3b1d6f887b9d52bdf4360fda8e732)
![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(1,4)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cff7dedc5fcf2072bf1ce3a563bb33eb337b89)
![{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(2,3)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8ee57fb1c010f2d6727fd558967a7a33ca0120)
(6차원 회전군)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f69a827446e03333d34393012d0d3b7cc7d0e7a)
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(5,1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d66112d7bd1ccdfcb3183ebf45fb1a934a25c1f)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(4,2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a86f57279dbcbb2d3afb9f6cf9a7bccf32b9504)
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(3,3)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c961f52da25cb992cc00b554f1e7a5d54a9d6f3d)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9afa30e2a44a11d3e88308ea7ae5dfec20f1264)
(8차원 회전군)
또한,
는 단순 리 대수가 아니다.
복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.[2] 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(러시아어: Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다.[3]