다중로그

수학에서 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬^[*]) 또는 폴리로그는 로그를 일반화한 특수 함수이다.

역사

이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다.^[1] 존 랜던(영어: John Landen)은 이중로그에 대한 랜던 항등식을 1760년 증명하였다. 레온하르트 오일러와 닐스 헨리크 아벨은 이중로그에 대한 아벨 항등식을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.^[2]

일반적인 다중로그는 종키에르(프랑스어: A. Jonquière)가 1889년 다루었다.^[3] 이 때문에 다중로그는 종키에르 함수라고 불리기도 한다.

정의

임의의 복소수 ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$와 ${\displaystyle |z|<1}$인 복소수 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$에 대하여, 다중로그 ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$는 다음과 같은 급수로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z+z^{2}/2^{s}+z^{3}/3^{s}+\dots }$

이는 모든 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부 ${\displaystyle s}$에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은 ${\displaystyle z=1}$과 ${\displaystyle z=\infty }$이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

${\displaystyle s=2}$인 경우 이중로그(二重log, 영어: dilogarithm), ${\displaystyle s=3}$인 경우 삼중로그(三重log, 영어: trilogarithm) 따위의 이름을 사용한다.

성질

정의에 따라, ${\displaystyle z=1}$인 경우 다중로그는 단순히 리만 제타 함수이다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)}$

마찬가지로, ${\displaystyle z=-1}$인 경우 다중로그는 디리클레 에타 함수이다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s)}$

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.

${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$

낮은 차수의 다중로그

1중로그는 다음과 같이 (통상적) 로그로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리 함수임을 증명할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{n}{\frac {z}{1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({\frac {z}{1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots )}$

여기서 ${\displaystyle S(n,k)}$는 제2종 스털링 수이다.

적분 표현

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계와 페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}\,dt\qquad \left(\operatorname {Re} s>0,\;z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty )\right)}$

페르미-디랙 적분 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)=-{\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}\,dt\qquad \left(\operatorname {Re} s>0,\;z\in \mathbb {C} \setminus (-\infty ,-1]\right)}$

각주

1. Maximon, L.C. (2003). “The dilogarithm Function for complex argument”. 《Proceedings of the Royal Society A》 (영어) 459 (2039): 2807–2819. doi:10.1098/rspa.2003.1156. Zbl 1050.33002.
2. Abel, N.H. (1881) [1826]. 〈Note sur la fonction ${\displaystyle \scriptstyle \psi x\,=\,x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots }$〉 (PDF). Sylow, L.; Lie, S. 《Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II》 (프랑스어). Christiania: Grøndahl & Søn. 189–193쪽. |장=에 지움 문자가 있음(위치 22) (도움말)
3. Jonquière, A. (1889). “Note sur la série ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}}$”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 17: 142–152. JFM 21.0246.02. |title=에 지움 문자가 있음(위치 19) (도움말)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polylogarithm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• 이철희. “폴리로그 함수(polylogarithm)”. 《수학노트》.
• 이철희. “다이로그 함수(dilogarithm)”. 《수학노트》.