집합론과 일반위상수학에서 해석적 집합(解析的集合, 영어: analytic set)은 폴란드 공간의 연속적 상인 폴란드 공간 부분 공간이다.
폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.
- 인 폴란드 공간 및 연속 함수 가 존재한다.[1]:85, Definition 14.1
- 인 폴란드 공간 및 보렐 집합 및 연속 함수 가 존재한다.
- 는 공집합이거나, 아니면 인 연속 함수 가 존재한다.[2]:128, Proposition 4.1.1(iii)
- 인 보렐 집합 가 존재한다.[2]:128, §4.1
- 인 폴란드 공간 및 보렐 집합 가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(ii)[2]:128, Proposition 4.1.1(ii)
- 인 닫힌집합 가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(iii)[2]:128, Proposition 4.1.1(iv)
- 인 Gδ 집합 가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(iv)
의 해석적 집합들의 족은 로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)
연산에 대한 닫힘
해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
- 폴란드 공간 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(i)[2]:129, Proposition 4.1.2(i)
- 폴란드 공간 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(i)[2]:129, Proposition 4.1.2(i)
- 두 폴란드 공간 , 사이의 보렐 가측 함수 및 해석적 집합 에 대하여, 그 상 역시 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(ii)[2]:129, Exercise 4.1.3
- 두 폴란드 공간 , 사이의 보렐 가측 함수 및 해석적 집합 에 대하여, 그 원상 역시 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4(ii)[2]:129, Proposition 4.1.2(i)
폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 보렐 집합이다.
- 와 둘 다 해석적 집합이다.
분리 정리
루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, 영어: Lusin–Novikoff separation theorem)에 따르면, 임의의 폴란드 공간 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 , 에 대하여, 만약 이라면, 이자 인 보렐 집합들의 집합족 이 존재한다.[1]:219, Theorem 28.5[2]:155, Theorem 4.6.1
쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 , 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족 가 존재한다.[2]:176, Corollary 4.11.3
- 임의의 에 대하여,
- 임의의 에 대하여, 라면
니콜라이 루진[3]과 미하일 수슬린[4] 이 1917년에 정의하였다.[5]
루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 루진이 1927년에 증명하였고,[6] 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.[7]