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수학에서 유한합(有限合, 영어: finite sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 가 쓰인다.
유한 수열 의 유한합
은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
보다 일반적으로, 유한 집합 로 첨수된 수들의 집합 의 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.
여기서 는 의 크기이며, 는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 의 선택과 무관하기 때문이다.
집합 및 그 위의 성질 에 대하여, 원소 가 성질 를 만족시킨다는 것을 로 쓰자. 만약 집합 가 유한 집합일 경우, 유한합
는
와 같이 표기할 수 있다.
합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.
실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.
증명 (코시-슈바르츠 부등식):
증명 (횔더 부등식):
영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.
증명 (민코프스키 부등식):
다음과 같은 를 취하자.
그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.
증명 (세제곱 합):
항등식
을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.
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