작용 (물리학)

작용(作用, 영어: action)은 계의 시간에 따른 경로를 나타내는 물리량이다. 라그랑지언의 시간에 대한 적분이다. 계의 고전적 경로는 (고정된 초기 및 최종 조건 아래) 작용의 국소적 최소점, 국소적 최대점, 또는 안장점을 이루며, 이를 최소작용 원리라 부른다. 양자론에서는 경로적분에서의 위상을 나타낸다. 통상적 기호는 라틴 대문자 ${\displaystyle S}$다.

이 문서는 라그랑주 역학에서의 작용에 관한 것입니다. 작용과 반작용의 법칙에 대해서는 뉴턴 운동 법칙#제3법칙: 작용과 반작용의 법칙 문서를 참고하십시오.

정의

라그랑주 역학에서 계의 동역학은 라그랑지언 ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$에 의하여 결정된다. 이 경우, 계의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle S=\int L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\;dt}$

에너지의 단위를 지닌 라그랑지언의 시간적분이므로, 작용의 단위는 에너지×시간이다. 그 국제단위는 줄 초(J·s)다.

장론에서는 라그랑지언 대신 라그랑지언 밀도 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x^{\mu })}$를 쓴다. 이 때, 계의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}\;d^{D}x}$

여기서 ${\displaystyle D}$는 시공간의 차원의 수다.

작용 ${\displaystyle S}$를 지닌 고전적 계를 양자화하면, 그 분배 함수 ${\displaystyle Z}$는 다음과 같다.

${\displaystyle Z=\int \exp(-iS/\hbar )\;d\phi }$

여기서 ${\displaystyle D\phi }$는 계의 장에 대한 경로 적분의 측도다. ${\displaystyle \hbar }$는 디랙 상수다. 이 때문에 ${\displaystyle \hbar }$를 "작용의 양자"로 일컫기도 한다.

역사

작용이라는 개념이 처음 개발될 때는 의미가 일정치 않았다.

• 고트프리트 라이프니츠, 요한 베르누이, 피에르루이 모페르튀는 빛의 작용을 그 경로에서 속도(혹은 그 역수)를 적분한 것으로 정의했다.
• 레온하르트 오일러(라이프니츠도 포함될 수 있음)는 물질 입자의 작용을 그 경로에서 속도를 적분한 것으로 정의했다.
• 모페르튀는 정의에에 여러 예외 조건을 두고, 논문 《형이상학적 원리로부터 유도한 운동과 평형의 법칙》^[1]에서 작용을 현대의 위치 에너지로 정의하거나 가상 운동 에너지 및 충돌시에 운동량을 보존시키는 무언가로 정의하기도 하는 등 서로 모순되는 정의들을 제시했다.

각주

1. Maupertuis, Pierre-Louis (1746). 1744년 4월 15일 발표. “Les Loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique”. 《Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres》: 267-294.

같이 보기

• 라그랑지언
• 라그랑주 역학
• 뇌터의 정리
• 해밀턴 역학
• 변분법
• 함수미분
• 함수해석학
• 경로 적분
• 양자역학
• 플랑크 상수