외적

선형대수학에서 외적(外積, outer product)이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

이 문서는 벡터끼리 곱하면 행렬을 얻게 되는 ‘외적’(outer product)에 관한 것입니다. 벡터끼리 곱하면 벡터를 얻게 되는 ‘외적’(cross product)에 대해서는 벡터곱 문서를 참고하십시오.

정의

행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$은 ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}}$와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, ${\displaystyle \mathbf {u} }$은 실수공간 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$에서 정의되는 ${\displaystyle m\times 1}$ 열벡터, ${\displaystyle \mathbf {v} }$는 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$에서 정의되는 ${\displaystyle n\times 1}$ 열벡터를 말한다. 예를 들어, ${\displaystyle m=4}$, ${\displaystyle n=3}$인 경우 .

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}}$

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{m}}$과 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 ${\displaystyle \mathbf {v} ^{T}}$ 대신에 복소켤레전치 ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$를 사용해

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }}$

로 정의된다.

내적과의 비교

만약 ${\displaystyle m=n}$이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {v} ^{\dagger }\mathbf {u} }$

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라(${\displaystyle 1\times 1}$ 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의

주어진 벡터 ${\displaystyle v\in V}$와 코벡터 ${\displaystyle w^{*}\in W^{*}}$의 텐서곱 ${\displaystyle v\otimes w^{*}}$은 동형사상 ${\displaystyle \mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V}$하의 사상 ${\displaystyle \ A\colon W\to V\,}$을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 ${\displaystyle w\in W}$에 대해

${\displaystyle A(w)\,=\,w^{*}(w)v}$

로 정의된다. 여기서 ${\displaystyle h>w}$로 계산된 ${\displaystyle w^{*}}$로 ${\displaystyle v}$와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 ${\displaystyle \ w^{*}\colon W\to K\,}$ 와 ${\displaystyle \ v\colon K\to V\,}$ 의 합성이다.

내적과의 비교

만약 ${\displaystyle \ W=V\,}$이면, 코벡터 ${\displaystyle w^{*}\in V^{*}}$와 벡터 ${\displaystyle v\in V}$를 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle V}$의 쌍대의 쌍대연산 ${\displaystyle (w^{*},v)\mapsto w^{*}(v)}$를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

같이 보기

• 하우스홀더 변환
• 노름