미분 연산자

수학에서 미분 연산자(微分演算子, 영어: differential operator)는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, ${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle F}$의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)}$

을 생각하자.

${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle F}$ 사이의 미분 연산자는 특별한 꼴의 실수 선형 변환

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

구체적 정의

임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자.

${\displaystyle s\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

여기서

• ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$는 자연수(음이 아닌 정수)이다.
• ${\displaystyle \nabla }$는 ${\displaystyle E}$의 임의의 코쥘 접속이다.
• ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)}$는 ${\displaystyle E^{*}\otimes F}$의 임의의 매끄러운 단면이다.
• ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}$는 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터장이다.

그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 ${\displaystyle (D_{i})_{i\in I}}$들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.

• 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{j})_{j\in J}}$에 대하여, 각 ${\displaystyle j\in J}$에 대하여 ${\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}}$은 유한 집합이다.

(만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 ${\displaystyle k}$를 미분 연산자의 차수(영어: degree)라고 한다. (만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)

제트 다발을 통한 정의

실수 선형 변환

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, ${\displaystyle D}$를 ${\displaystyle k}$차 미분 연산자라고 한다.

${\displaystyle D=T\circ \mathrm {j} ^{k}}$

여기서

• ${\displaystyle \mathrm {j} ^{k}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {J} ^{k}E)}$는 ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle k}$차 제트 연장이다.
• ${\displaystyle \mathrm {J} ^{k}E}$는 ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle k}$차 제트 다발이다.
• ${\displaystyle T\colon \mathrm {J} ^{k}E\to F}$는 벡터 다발 사상이다.

미분 연산자는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 ${\displaystyle (D_{i})_{i\in I}}$들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다.

• 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{j})_{j\in J}}$에 대하여, 각 ${\displaystyle j\in J}$에 대하여 ${\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}}$은 유한 집합이다.

(만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

페트레 정리를 통한 정의

실수 벡터 공간 값의 층 사상

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 매끄러운 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} s}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {supp} }$은 층의 지지 집합이다.

그렇다면, ${\displaystyle D}$를 미분 연산자라고 한다.

이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, 페트레 정리(Peetre定理, 영어: Peetre’s theorem)라고 한다.

성질

콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 두 벡터 다발 ${\displaystyle E,F}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle E\to F}$ 미분 연산자의 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E,F)}$로 표기하자.

그렇다면, 모든 미분 연산자 ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)={\mathcal {D}}_{0}(E,F)\subseteq {\mathcal {D}}_{1}(E,F)\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {D}}_{\infty }(E,F)={\mathcal {D}}(E,F)}$

가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.

미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}(E',E'')\circ {\mathcal {D}}_{m}(E,E')\subseteq {\mathcal {D}}_{m+n}(E,E'')}$

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )}$ 미분 연산자는 유사 미분 연산자이다.

등급 대수

콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 벡터 다발 ${\displaystyle E}$이 주어졌다고 하자. 편의상 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E)={\mathcal {D}}(E,E)}$와 같이 표기하자.

이제, 다음과 같이 등급 대수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }{\frac {{\mathcal {D}}_{i}(E)}{{\mathcal {D}}_{i-1}(E)}}}$

(여기서 편의상 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i-1}(E)=\{0\}}$으로 간주한다.)

이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.^{[1]:64, Proposition 2.1}

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)\otimes \operatorname {End} (E)\right)\cong \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)}$은 그 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다.
• ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E\otimes E^{*}}$는 ${\displaystyle E}$ 위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발이다.

이는 다음과 같다.

${\displaystyle X_{1}\otimes X_{2}\otimes \cdots \otimes X_{k}\otimes T\mapsto [T\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}]\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M),\;T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}$

여기서 ${\displaystyle \nabla }$는 ${\displaystyle E}$ 위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다.

주표상

주표상(主表象, 영어: principal symbol)은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 ${\displaystyle \partial _{i}\mapsto \xi _{i}}$로 치환한 것이다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E,F\to X}$ 사이의 미분 연산자 ${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 ${\displaystyle u\in \Gamma ^{\infty }(E)}$에 대하여, 국소 좌표계에서 ${\displaystyle D}$가

${\displaystyle D\colon u(x)\mapsto \sum _{I}P^{I}(x)\partial _{I}u}$

의 꼴이라고 하자. 여기서 ${\displaystyle I}$는 다중지표이고, ${\displaystyle D^{I}\colon E\to F}$는 다발 사상이다. 여기서 ${\displaystyle D^{I}}$는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다.

${\displaystyle D}$의 차수

${\displaystyle k=\max\{|I|\colon P^{I}\neq 0\}}$

가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 ${\displaystyle D}$의 주표상

${\displaystyle \sigma _{D}\in \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} X)\otimes E^{*}\otimes F\right)}$

은 ${\displaystyle (k,0)}$차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{D}=\sum _{|I|=k}P^{I}}$

이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.

예

실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle D=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}}$

여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \exists \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\forall y\in (x-\epsilon ,x+\epsilon )\exists N\in \mathbb {N} \forall n>N\colon f_{n}(y)=0}$

벡터 연산자

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {T} \mathbb {R} ^{n}}$의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기

${\displaystyle \operatorname {grad} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}$

와 발산

${\displaystyle \operatorname {div} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$

및 회전

${\displaystyle \operatorname {curl} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}$

은 모두 1차 미분 연산자이다.

라플라스 연산자

 이 부분의 본문은 라플라스 연산자입니다.

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자

${\displaystyle \Delta \colon C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

가 존재하며, 그 주표상은

${\displaystyle \sigma _{\Delta }(\xi )=g^{-1}(\xi ,\xi )}$

이다. 만약 ${\displaystyle M}$이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다.

디랙 연산자

 이 부분의 본문은 디랙 연산자입니다.

스핀 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자

${\displaystyle D=\gamma ^{i}\nabla _{i}\colon SM\to SM}$

의 주표상은

${\displaystyle \sigma _{D}(\xi )=\gamma ^{i}\xi _{i}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle SM}$은 ${\displaystyle M}$의 스피너 다발이고, ${\displaystyle \gamma ^{i}}$는 디랙 행렬이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.

역사

미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast, 1759~1803)의 1800년 저서^[2]가 최초라고 여겨진다.^{[3]:169, §2.1}

페트레 정리는 야크 페트레(에스토니아어: Jaak Peetre, 1935~)가 증명하였다.

같이 보기

• 타원형 미분 연산자
• 회전 (벡터)
• 분수계 미적분학
• 유사 미분 연산자
• 아티야-싱어 지표 정리