미분 연산자

수학에서 미분 연산자(微分演算子, 영어: differential operator)는 미분 연산을 포함할 수 있는, 함수 또는 단면 공간 위의 국소적 선형 변환이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, ${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle F}$의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)}$

을 생각하자.

${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle F}$ 사이의 미분 연산자는 특별한 꼴의 실수 선형 변환

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

이다. 이는 다음과 같이 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

구체적 정의

임의의 국소 좌표계에서, 다음과 같은 꼴의 연산자를 생각하자.

${\displaystyle s\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

여기서

• ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$는 자연수(음이 아닌 정수)이다.
• ${\displaystyle \nabla }$는 ${\displaystyle E}$의 임의의 코쥘 접속이다.
• ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)}$는 ${\displaystyle E^{*}\otimes F}$의 임의의 매끄러운 단면이다.
• ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}$는 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터장이다.

그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 ${\displaystyle (D_{i})_{i\in I}}$들의 합으로 나타내어지는 연산자이다. 여기서 합이 잘 정의되기 위해서는 다음 조건이 성립해야 한다.

• 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{j})_{j\in J}}$에 대하여, 각 ${\displaystyle j\in J}$에 대하여 ${\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}}$은 유한 집합이다.

(만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

위와 같은 꼴에서 가능한 최소의 ${\displaystyle k}$를 미분 연산자의 차수(영어: degree)라고 한다. (만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이 아니라면 이는 무한할 수 있다.)

제트 다발을 통한 정의

실수 선형 변환

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

가 주어졌다고 하자. 만약 다음과 같은 꼴의 분해가 존재한다면, ${\displaystyle D}$를 ${\displaystyle k}$차 미분 연산자라고 한다.

${\displaystyle D=T\circ \mathrm {j} ^{k}}$

여기서

• ${\displaystyle \mathrm {j} ^{k}\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {J} ^{k}E)}$는 ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle k}$차 제트 연장이다.
• ${\displaystyle \mathrm {J} ^{k}E}$는 ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle k}$차 제트 다발이다.
• ${\displaystyle T\colon \mathrm {J} ^{k}E\to F}$는 벡터 다발 사상이다.

미분 연산자는 미분 연산자들의 합으로 정의되는 국소 연산자이다. 즉, 그렇다면, 미분 연산자는 위와 같은 꼴의 연산자 ${\displaystyle (D_{i})_{i\in I}}$들의 합으로 나타내어지는 연산자이며, 다음 조건이 성립해야 한다.

• 어떤 (충분히 섬세한) 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{j})_{j\in J}}$에 대하여, 각 ${\displaystyle j\in J}$에 대하여 ${\displaystyle \{i\in I\colon D_{i}\upharpoonright U_{j}\neq \varnothing \}}$은 유한 집합이다.

(만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이라면, 위의 국소적 유한성 조건은 단순히 대역적 유한성에 불과하다.)

페트레 정리를 통한 정의

실수 벡터 공간 값의 층 사상

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$

가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 매끄러운 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} s}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {supp} }$은 층의 지지 집합이다.

그렇다면, ${\displaystyle D}$를 미분 연산자라고 한다.

이 정의가 위의 두 정의와 동치라는 사실은 자명하지 않으며, 페트레 정리(Peetre定理, 영어: Peetre’s theorem)라고 한다.

성질

콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 두 벡터 다발 ${\displaystyle E,F}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle E\to F}$ 미분 연산자의 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E,F)}$로 표기하자.

그렇다면, 모든 미분 연산자 ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$는 유한한 차수를 가지며, 따라서 차수에 따라 자연스러운 오름 여과

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E^{*}\otimes F)={\mathcal {D}}_{0}(E,F)\subseteq {\mathcal {D}}_{1}(E,F)\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {D}}_{\infty }(E,F)={\mathcal {D}}(E,F)}$

가 존재한다. 그러나 이 여과는 자연스럽게 등급을 이루지 않는다.

미분 연산자의 차수 여과는 합성에 대하여 다음과 같이 호환된다.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}(E',E'')\circ {\mathcal {D}}_{m}(E,E')\subseteq {\mathcal {D}}_{m+n}(E,E'')}$

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} )}$ 미분 연산자는 유사 미분 연산자이다.

등급 대수

콤팩트 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 벡터 다발 ${\displaystyle E}$이 주어졌다고 하자. 편의상 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E)={\mathcal {D}}(E,E)}$와 같이 표기하자.

이제, 다음과 같이 등급 대수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }{\frac {{\mathcal {D}}_{i}(E)}{{\mathcal {D}}_{i-1}(E)}}}$

(여기서 편의상 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i-1}(E)=\{0\}}$으로 간주한다.)

이에 대하여 다음과 같은 등급 대수 동형 사상이 존재한다.^{[1]:64, Proposition 2.1}

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)\otimes \operatorname {End} (E)\right)\cong \operatorname {gr} {\mathcal {D}}(E)}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Sym} (\mathrm {T} M)}$은 그 올이 접공간의 대칭 대수인 벡터 다발이다.
• ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E\otimes E^{*}}$는 ${\displaystyle E}$ 위의 자기 벡터 다발 사상으로 구성된 벡터 다발이다.

이는 다음과 같다.

${\displaystyle X_{1}\otimes X_{2}\otimes \cdots \otimes X_{k}\otimes T\mapsto [T\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\cdots \nabla _{X_{k}}]\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{k}\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M),\;T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}$

여기서 ${\displaystyle \nabla }$는 ${\displaystyle E}$ 위에 정의된 임의의 코쥘 접속이다.

주표상

주표상(主表象, 영어: principal symbol)은 미분 연산자의 차수를 나타내는, 여접다발 위에 정의되는 완전 대칭 다항식이다. 대략 미분 연산자의 최고차항에서 편미분 연산자를 형식적인 변수 ${\displaystyle \partial _{i}\mapsto \xi _{i}}$로 치환한 것이다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E,F\to X}$ 사이의 미분 연산자 ${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)}$를 생각하자. 임의의 매끄러운 단면 ${\displaystyle u\in \Gamma ^{\infty }(E)}$에 대하여, 국소 좌표계에서 ${\displaystyle D}$가

${\displaystyle D\colon u(x)\mapsto \sum _{I}P^{I}(x)\partial _{I}u}$

의 꼴이라고 하자. 여기서 ${\displaystyle I}$는 다중지표이고, ${\displaystyle D^{I}\colon E\to F}$는 다발 사상이다. 여기서 ${\displaystyle D^{I}}$는 다중지표의 성분들의 순열에 무관하다.

${\displaystyle D}$의 차수

${\displaystyle k=\max\{|I|\colon P^{I}\neq 0\}}$

가 유한하다고 하자. 그렇다면 미분 연산자 ${\displaystyle D}$의 주표상

${\displaystyle \sigma _{D}\in \Gamma ^{\infty }\left(\operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} X)\otimes E^{*}\otimes F\right)}$

은 ${\displaystyle (k,0)}$차 완전 대칭 텐서장이며, 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{D}=\sum _{|I|=k}P^{I}}$

이것이 텐서장으로서 변환한다는 사실을 보일 수 있다.

예

실수선 위의 미분 연산자는 이는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle D=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}}$

여기서 위 합이 국소적으로 유한하려면 다음 조건이 성립해야 한다.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \exists \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\forall y\in (x-\epsilon ,x+\epsilon )\exists N\in \mathbb {N} \forall n>N\colon f_{n}(y)=0}$

벡터 연산자

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 실수 값 매끄러운 함수는 자명한 벡터 다발 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$의 매끄러운 단면이며, 벡터장은 자명한 벡터 다발 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {T} \mathbb {R} ^{n}}$의 매끄러운 단면이다. 이 경우, 매끄러운 함수의 기울기

${\displaystyle \operatorname {grad} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}$

와 발산

${\displaystyle \operatorname {div} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$

및 회전

${\displaystyle \operatorname {curl} \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}$

은 모두 1차 미분 연산자이다.

라플라스 연산자

 이 부분의 본문은 라플라스 연산자입니다.

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에는 2차 미분 연산자인 라플라스 연산자

${\displaystyle \Delta \colon C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

가 존재하며, 그 주표상은

${\displaystyle \sigma _{\Delta }(\xi )=g^{-1}(\xi ,\xi )}$

이다. 만약 ${\displaystyle M}$이 리만 다양체라면 이는 타원형 미분 연산자이다.

디랙 연산자

 이 부분의 본문은 디랙 연산자입니다.

스핀 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 1차 미분 연산자인 디랙 연산자

${\displaystyle D=\gamma ^{i}\nabla _{i}\colon SM\to SM}$

의 주표상은

${\displaystyle \sigma _{D}(\xi )=\gamma ^{i}\xi _{i}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle SM}$은 ${\displaystyle M}$의 스피너 다발이고, ${\displaystyle \gamma ^{i}}$는 디랙 행렬이다. 이는 항상 약타원형 미분 연산자이다.

역사

미분 연산자를 (단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호가 아니라) 스스로 존재하는 대상으로 여기는 것은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트(프랑스어: Louis François Antoine Arbogast, 1759~1803)의 1800년 저서^[2]가 최초라고 여겨진다.^{[3]:169, §2.1}

페트레 정리는 야크 페트레(에스토니아어: Jaak Peetre, 1935~)가 증명하였다.

같이 보기

• 타원형 미분 연산자
• 회전 (벡터)
• 분수계 미적분학
• 유사 미분 연산자
• 아티야-싱어 지표 정리

각주

1. Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20062-8. Zbl 0744.58001.
2. Arbogast, Louis François Antoine (1800). 《Du calcul des dérivations》 (프랑스어). de l’imprimerie de Levrault, frères.
3. Pantecki, Maria (2000). 〈The mathematical background of George Boole’s Mathematical Analysis of Logic (1847)〉. Gasser, James. 《A Boole anthology: recent and classical studies in the logic of George Boole》. Synthese Library (영어) 291. Springer-Verlag. 167–212쪽. doi:10.1007/978-94-015-9385-4_10. ISBN 978-90-481-5491-3.

• Hörmander, Lars (1971). 〈Linear differential operators〉 (PDF). 《Actes du Congrès international des mathématiciens 1970 publiés sous la direction du Comité d’Organisation du Congrès. Tome 1. Documents — Médailles Fields. Conférences générales (G). Logique (A) — algèbre (B)》 (영어). 파리: Gauthier-Villars. 121–133쪽. 2015년 11월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 1월 5일에 확인함.
• Hörmander, L. (1983). 《The analysis of linear partial differential operators I》. Grundl. Math. Wissenschaft. 256. Springer. ISBN 3-540-12104-8. MR 0717035.
• Wells, R.O. (1973). 《Differential analysis on complex manifolds》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.

외부 링크

• Steinbauer, Roland (2010년 8월). “Introduction to partial differential operators on manifolds and normally hyperbolic operators” (PDF) (영어).
• “Differential operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Linear differential operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Spectral theory of differential operators”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Principal part of a differential operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Principal type, partial differential operator of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Interior differential operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Invariant differential operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Differential operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Differential operator”. 《nLab》 (영어).
• “Symbol of a differential operator”. 《nLab》 (영어).