구보-마틴-슈윙거 상태

함수해석학과 양자역학에서 구보-마틴-슈윙거 상태([久保]-Martin-Schwinger狀態, 영어: Kubo–Martin–Schwinger state, 약자 KMS 상태)는 특정하게 열역학적 평형을 이룬 순수 또는 혼합 상태이다.

바르샤바 대학교의 한 벽면에 새겨진 구보-마틴-슈윙거 조건 (中, “warunek Kubo-Martina-Schwingera”)

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• C* 대수 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (“관측 가능량 대수”)
• 상태 ${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {C} }$
• 양의 실수 ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}$ (“온도의 역수”)
• 군 준동형 ${\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} ({\mathcal {A}})}$, ${\displaystyle t\mapsto \alpha _{t}}$ (“시간 변화”)

만약 임의의 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$에 대하여 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 연속 함수

${\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }$

가 존재한다면, ${\displaystyle \phi }$를 ${\displaystyle \beta }$에서의 구보-마틴-슈윙거 상태(영어: Kubo–Martin–Schwinger state at ${\displaystyle \beta }$)라고 한다.^{[1]:153, Definition 6.63}

• ${\displaystyle F_{AB}}$의 치역은 유계 집합이다.
• ${\displaystyle F_{AB}\upharpoonright \left(\mathbb {R} +\mathrm {i} (0,\beta )\right)}$는 정칙 함수이다.
• ${\displaystyle F_{AB}(t)=\phi (A\alpha _{t}B)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$ (실수선에서의 경계 조건)
• ${\displaystyle F_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )=\phi ((\alpha _{t}B)A)\qquad \forall t\in \mathbb {R} }$ (실수선${\displaystyle +\mathrm {i} \beta }$에서의 경계 조건)

물리학적으로, ${\displaystyle F_{AB}}$는 현재 관측 가능량 ${\displaystyle A}$와 시각 ${\displaystyle t}$에서의 관측 가능량 ${\displaystyle B}$ 사이의 상관 함수이다.

성질

구보-마틴-슈윙거 상태는 시간 불변이다. 즉, ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$-구보-마틴-슈윙거 상태 ${\displaystyle \phi }$에 대하여, 다음이 성립한다.^{[1]:153, Proposition 6.64(2)}

${\displaystyle \phi \circ \alpha _{t}=\phi \qquad \forall t\in \mathbb {R} }$

예

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{N}}$
• ${\displaystyle N\times N}$ 에르미트 행렬 ${\displaystyle H}$ (“해밀토니언 연산자”)
• 양의 실수 ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}$

그렇다면, 모든 ${\displaystyle N\times N}$ 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)=\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}$를 생각하자. 이 위에는 자기 동형

${\displaystyle \alpha _{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)}$

이 존재하며, 이는 군 준동형

${\displaystyle \alpha \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Aut} (\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} ))\cong \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \alpha \colon t\mapsto \alpha _{t}}$

을 정의한다. 이 경우, 임의의 복소수 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}$에 대하여 기브스 상태

${\displaystyle \omega (A;\beta )={\frac {\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\right)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}}$

및 함수

${\displaystyle F_{AB}\colon \mathbb {R} +\mathrm {i} [0,\beta ]\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle F_{AB}(z)=\omega (A\exp(\mathrm {i} zH)B;\beta )}$

를 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle F_{AB}(-)}$가 구보-마틴-슈윙거 경계 조건을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있으며, 이에 따라 ${\displaystyle \omega (-;\beta )}$는 구보-마틴-슈윙거 상태를 이룬다.

증명:

유일하게 자명하지 않은 것은 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} +\mathrm {i} \beta }$에서의 경계 조건이다. 이는 대각합의 순환 성질을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\operatorname {tr} \exp(-\beta H)\right)F_{AB}(t+\mathrm {i} \beta )&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)A\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)B\exp(-\mathrm {i} (t+\mathrm {i} \beta )H)\exp(-\beta H)A\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\exp(-\beta H)\exp(\mathrm {i} tH)B\exp(-\mathrm {i} tH)A\right)\end{aligned}}}$

보다 일반적으로, 임의의 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle V}$(의 조밀 부분 공간) 위의 자기 수반 작용소 ${\displaystyle H\colon D\to V}$가 주어졌다고 하자. 이에 따라, 임의의 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 대하여 유니터리 작용소 ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon V\to V}$를 정의할 수 있다. ${\displaystyle V}$ 위의 모든 유계 작용소들은 1종 인자 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$를 이루며,

${\displaystyle \alpha _{t}\colon A\mapsto \exp(\mathrm {i} tH)A\exp(-\mathrm {i} tH)}$

는 그 위의 자기 동형을 정의한다. 이 경우, ${\displaystyle \alpha }$에 대한, 온도의 역수 ${\displaystyle \beta }$에서의 구보-마틴-슈윙거 상태가 존재할 필요 충분 조건은 ${\displaystyle \exp(-\beta H)}$가 대각합류 작용소인지 여부이다.^{[1]:154, §6.4.4} 만약 이 조건이 성립한다면, 유일한 구보-마틴-슈윙거 상태는 다음과 같은 기브스 상태이다.^{[1]:154, §6.4.4}

${\displaystyle \phi _{H}\colon A\mapsto {\frac {\operatorname {tr} (\exp(-\beta H)A)}{\operatorname {tr} \exp(-\beta H)}}}$

역사

줄리언 슈윙거

구보 료고^{[2]:579, (4.13)}와 폴 세실 마틴(영어: Paul Cecil Martin, 1931~2016)과 줄리언 슈윙거^[3]가 1950년대에 도입하였다.

“구보-마틴 슈윙거 경계 조건”(영어: Kubo–Martin–Schwinger boundary condition)이라는 용어는 1967년에 최초로 사용되었다.^[4]

같이 보기

• 기브스 상태