ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವಕಲಜನ್ಯ ಮತ್ತು ಅನುಕಲಜ ಹಾಗೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ.

ಹಿನ್ನೆಲೆ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅವಕಲಜನ್ಯ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ (ಅನಾವಕಲಜನ್ಯ) ಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಮತ್ತೊಂದು ಚರಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವು ಒಂದು ಫಲನದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮಧ್ಯಂತರ [a,b] ಮೇಲೆ ಇರುವ ನಿವ್ವಳ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ^[1] f ಫಲನದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ (ಅನಾವಕಲಜನ್ಯ) ಮತ್ತೊಂದು ಫಲನ f ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಅವಕಲಜನ್ಯವು ಮೊದಲ ಫಲನ f ‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇತಿಹಾಸ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಇತಿಹಾಸವು ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ಸಂಚಿತವಾಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅನುಕಲನವನ್ನು ನೋಡಿದರು. ಅಂತೆಯೇ, ಅವರು ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅನುಕಲಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವೇಗವರ್ಧನೆ, ವೇಗ ಮತ್ತು ದೂರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ವಿಕಲಜನ್ಯ ಮತ್ತು ಅನುಕಲಜ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಮುಖವಾಗಿದೆ; ವೇಗವರ್ಧನವು ವೇಗದ ವಿಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ದೂರದ ವಿಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ದೂರವು ವೇಗದ ಅವಿಕಲಜನ್ಯವಾಗಿದೆ. 1823 ರಲ್ಲಿ, ಕೌಚಿ ಪರಿಮಿತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಸಿಮಿಯೋನ್ ಡೆನಿಸ್ ಪಾಯಿಸನ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅನುಕಲಜವನ್ನು a ಮತ್ತು b ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಕಲಜನ್ಯ‌ಗಳ [F(b) - F(a)] ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದು ವಿವರಿಸಿದರು, ಅದೀಗ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. 1950 ರ ದಶಕದವರೆಗೂ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ^[2]

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು f(x) ಫಲನವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$

ಇದರರ್ಥ [a,b] ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜವು b ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಅವಿಕಲಜನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಅವಿಕಲಜನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕಲಜ (ಅವಿಕಲಜನ್ಯ) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ^[3]

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು f ಫಲನವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)}$

ಇದರರ್ಥ f ಫಲನದ ಅನುಕಲಜ ವಿಕಲಜನ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ [a,x] ಮೇಲೆ ಚರಾಕ್ಷರ t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ f ಫಲನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಕಲಜನ್ಯ ಮತ್ತು ಅನುಕಲಜವನ್ನು ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ^[4]

ಸಂದರ್ಭ

1. “Definite integrals and negative area.” Khan Academy. 2015. June 1, 2015 <https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/definite_integrals/v/definite-integrals-and-negative-area>
2. Bressoud, D. (2011). “Historical reflections on teaching the fundamental theorem of integral calculus.” The American Mathematical Monthly, 118(2), 99-115.
3. Larson, R., & Edwards, B. (2013). Calculus of a Single Variable. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning,  pg. 278.
4. Larson, R., & Edwards, B. (2013). Calculus of a Single Variable. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, pg. 284.