წარმოებული — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის
ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე
წერტილის მიდამოში არგუმენტის
ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება
. სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული
წერტილის მიდამოში.
განსაზღვრება: ერთი ნამდვილი ცვლადის
ფუნქციის წარმოებული
წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი
და
![{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4854b3bf38401fc6b5f5c67f3ad46d743278e9c9)
თუ უკანასკნელი ზღვარი სასრულია. როდისაც
ან
, მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს
და
ვუწოდებთ შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულებს. თუ
წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს
, მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს
![{\displaystyle (1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\;\;{\text{ან}}\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509ebd3c8ac5a4023cfcc0517d38c604724f9ea9)
წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია
აკმაყოფილებს ტოლობას
. ამიტომ უტოლობიდან
, გამომდინარეობს
ფუნქციის უწყვეტობა
წერტილში. ამდენად
წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს
ფუნქციის უწყვეტობა
წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას
არ გააჩნია წარმოებული
. მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.
თუ ფუნქციას
ყოველ
წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ
რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს
აღვნიშნავთ სიმბოლოთი
და ვუწოდებთ
ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი
ფუნქციის წარმოებულ
ფუნქციას მხოლოდ მეორე გვარის წყვეტები შეიძლება ჰქონდეს[1].
თუ
ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას
, რომელსაც ეწოდება
ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული. ანალოგიურად
ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ
-მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ
ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი
და
![{\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(x_{0})=(f^{(n-1)}(x_{0}))'=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}}}\;\;\;\;(n\in N),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03728799267a50e2c755898c07b0df4e0a3eec5)
სადაც
. ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული
, აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები
შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები
ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის
წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები
.
თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე გლუვს.