From Wikipedia, the free encyclopedia
ნატურალური რიცხვი — მთელი დადებითი რიცხვი (1, 2, 3, 4, ...) .
ეს სტატია ან განყოფილება სპეციალისტის ყურადღებას საჭიროებს. გთხოვთ დაგვეხმაროთ სტატიის გამართვაში. დეტალებისთვის იხილეთ განხილვის გვერდი |
ამ სტატიას გრამატიკის, სტილისა და მართლწერის გასწორება სჭირდება. |
ნატურალურ რიცხვებს უწოდებენ რიცხვებს, რომლებიც საგნების დასათვლელად გამოიყენება.
ნატურალური რიცხვების დაყოფას თვისებების მიხედვით რიცხვთა თეორია შეისწავლის. თვლასთან დაკავშირებული პრობლემები, კი, მაგალითად რამსეის თეორია, ისწავლება კომბინატორიკაში.
ნატურალური რიცხვების დაყოფა განიხილება სხვადასხვა ნიშნების მიხედვით, მაგალითად 2-ზე გაყოფადობის მიხედვით გვაქვს ლუწი და კენტი ნატურალური რიცხვები, გამყოფთა რაოდენობის მიხედვით კი მარტივი და შედგენილი ნატურალური რიცხვები.
ნატურალურ რიცხვებს დასაბამი აქვთ სიტყვებში რომლებიც საგნების დასათვლელად გამოიყენებოდა, საწყისი რიცხვითი სახელით ერთი.
პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი რიცხვთა სისტემის განზოგადებაში იყო ციფრების გამოყენება რაოდენობის გამოსახატავად. ამან განვითარების საშუალება მისცა რიცხვების ჩაწერის სისტემას გაცილებით უფრო დიდი რიცხვების გამოსახვისთვის. მაგალითად, ბაბილონელებმა განავითარეს მძლავრი აღრიცხვის პოზიციური სისტემა, რომელიც მნიშვნელოვანწილად შედგებოდა 1-დან 10-მდე ციფრებისგან. ძველ ეგვიპტელებს გააჩნდათ აღრიცხვის სისტემა, სხვადასხვა იეროგლიფებისაგან შემდგარი, რომელნიც 1-დან 10-მდე ციფრებს აღნიშნავდნენ და ასევე 10-ის ყველა ხარისხს მილიონამდე. წარწერა ქვაზე კარნაკიდან, რომელიც თარიღდება ძვ. წ. 1500 წლით და რომელიც ამჟამად ლუვრში ინახება, გამოსახავს 276-ს როგორც 2 ასეულს, 7 ათეულს და 6 ერთეულს; იმავენაირად 4622-საც.
გაცილებით გვიანდელი წარმოჩენა განზოგადების განვითარებაში იყო 0-ის აღნიშვნის იდეა თავისი ციფრით. ნული, როგორც ციფრი გამოიყენებოდა პოზიციურ სისტემაში ბაბილონელების მიერ ჯერ კიდევ ძვ. წ. 700 წელს, მაგრამ ისინი ცარიელს ტოვებდნენ იმ ადგილს, თუ ის იყო რიცხვის უკანასკნელი სიმბოლო. ოლმეკი და მაიას ტომები იყენებდნენ ნულს როგორც ცალკე ციფრს ძვ. წ. I საუკუნეში. ეს დამოუკიდებელი მიღწევა იყო, თუმცა ის არ გასცდენია მესოამერიკას. ცნების თანამედროვე გამოყენება სათავეს იღებს ინდოელი მათემატიკოსი ბრაჰმაგუპტასგან 628 წელს. მაგრამ, აღსანიშნავია, რომ კომპუტისტები (აღდგომა დღის გამომთვლელები), დაწყებული დიონისე მცირით 525 წელს, ხმარობდნენ ნულს ჩაწერისას რომაული ციფრების გამოუყენებლად. სამაგიეროდ ისინი იყენებდნენ ლათინურ სიტყვას „ნულუს“-ს („nullus“ - არაფერი). ციფრების, როგორც აბსტრაქტული ცნებების პირველ სისტემატიკურ მოკვლევას მიაკუთვნებენ ძველ ბერძენ ფილოსოფოსებს, პითაგორასა და არქიმედეს. თუმცა, დამოუკიდებელ შესწავლებს ჰქონდათ ადგილი დაახლოებით იმავე პერიოდში ინდოეთში, ჩინეთში, მესოამერიკაში.
მეცხრამეტე საუკუნეში ნატურალური რიცხვების სიმრავლეთა თეორიული განმარტება განვითარდა. ამ განმარტებით, ნული (ცარიელი სიმრავლის აღმნიშვნელი) განეკუთვნება ნატურალურ რიცხვებს. ამჟამად ნულს, ჩვეულებისამებრ მიაკუთვნებენ ნატურალურ რიცხვებს სიმრავლეთა თეორეტიკოსები, ლოგიკოსები და კომპიუტერული მეცნიერები. სხვა მათემატიკოსები მაგალითად, რიცხვთა თეორეტიკოსები, ძველ ტრადიციას მისდევენ და ნატურალური რიცხვების პირველ წევრად 1-ს მიიჩნევენ.
მათემატიკოსები იყენებენ -ს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის აღსანიშნავად. ეს სიმრავლე არის თვლადად უსასრულო: ის არის უსასრულო, მაგრამ თვლადი განსაზღვრების მიხედვით. ნატურალური რიცხვების რაოდენობა (იგივე კარდინალობა) აღინიშნება სიმბოლოთი ალეფ-ნული ().
ბუნდოვნების გასაფანტავად, რომ ნული არის ან არ არის ჩათვლილი მოცემულ სიმრავლეში „0“-ს უმატებენ ინდექსად ან „*“-ს ზედა შტრიხად:
(ზოგჯერ ინდექსი ან ზედა შტრიხი „+“ გამოიყენება „დადებითი“-ს აღსანიშნავად. თუმცა, ეს ხშირად გამოიყენება „არაუარყოფითი“-ს გამოსახვისთვის სხვა შემთხვევებში, როგორიც არის ℝ+ = [0,∞) და ℤ+ = { 0, 1, 2,... }, ყოველ შემთხვევაში ევროპულ ლიტერატურაში მაინც. სიმბოლო „*“, როგორც წესი არის „ნულისაგან განსხვავებული“-ს, ან უფრო სწორად, შექცევადი ელემენტების აღმნიშვნელი სიმბოლო.
სიმრავლეთა თეორეტიკოსები ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს საკმაოდ ხშირად გამოსახავენ ბერძნული ანბანის პატარა ასო „ომეგა“-თი: ω. ეს გამომდინარეობს რიგობითი რიცხვების გაიგივებიდან უფრო მცირე ყველა რიგობით რიცხვთა სიმრავლესთან. როდესაც ეს ჩაწერა გამოიყენება, ნული აუცილებლად იგულისხმება ნატურალურ რიცხვთა შორის.
შეკრება | გამრავლება | |
ჯამურობა: | a + b ნატურალური რიცხვია | a × b ნატურალური რიცხვია |
ჯუფთებადობა: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
გადანაცვლებადობა: | a + b = b + a | a × b = b × a |
ნეიტრალური ელემენტის არსებობა: | a + 0 = a | a × 1 = a |
გადანაწილებადობა: | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) | |
ნულზე გაყოფა არ შეიძლება: | თუ ab = 0, მაშინ ან a = 0 ან b = 0 (ან ორივე) |
ისტორიულად, ნატურალური რიცხვის საბოლოო განმარტება გარკვეული სიძნელეებით მოხერხდა. პეანოს პოსტულატების მიხედვით ყოველი მომდევნო პირობა უნდა იქნას დაკმაყოფილებული. გარკვეული აგებულებები აჩვენებენ, რომ სიმრავლეთა თეორიის მოცემულობით, პეანოს პოსტულატების მოდელები უნდა არსებობდნენ.
პეანოს აქსიომათა სისტემა შედგება 5 აქსიომისგან:[1]
უნდა აღინიშნოს, რომ „0“ ზემოთ ხსენებულ განმარტებებში არა აუცილებლად ნიშნავს ჩვენთვის ჩვეულებისამებრ ცნობილ ციფრ ნულს. „0“ უბრალოდ ნიშნავს რაღაც ობიექტს, რომელიც შესაფერის მომდევნო ფუნქციასთან შერწყმისას აკმაყოფილებს პეანოს აქსიომებს. ყველა სისტემა რომელიც აკმაყოფილებს ამ აქსიომებს იზომორფულია. სახელწოდება „0“ აქ გამოყენებულია პირველი წევრის აღსანიშნავად, რომელიც არაფრის მომდევნოა. მაგალითისთვის, ერთით დაწყებული ნატურალური რიცხვებიც აკმაყოფილებენ ამ აქსიომებს.
სტანდარტული აგებულება სიმრავლეთა თეორიაში, ფონ ნეიმანის რიგობითის კონსტრუქციის მიხედვით ნატურალურ რიცხვებს განსაზღვრავს, როგორც:
მიუხედავად იმისა, რომ სტანდარტული აგებულება მოსახერხებელია, ერთადერთი შესაძლო აგებულება არ არის. მაგალითად:
ან შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ 0 = {{ }}
ნატურალური რიცხვის პირველ სიმრავლეთა თეორისეულ განსაზღვრებას მიაკუთვნებენ ბერტრანდ რასელსა და ფრეგეს, თუმცა ამას ეჭვის ქვეშ აყენებენ, რომელთა მიხედვით ნატურალური რიცხვი n არის იმ სიმრავლეთა სიმრავლე, რომლებიც შეიცავენ n ელემენტებს. ეს შეიძლება წრიულად ჩანდეს, თუმცა შეიძლება მკაცრი განსაზღვრების ჩამოყალიბება. 0 აღვნიშნოდ, როგორც (0 ელემენტისგან შემდგარ სიმრავლეთა სიმრავლე), ხოლო (A-ს ნებისმიერი სიმრავლისთვის), როგორც (იხ. სიმრავლეთა ჩაწერის ფორმა). მაშინ 0 იქნება 0 ელემენტის შემცველი ყველა სიმრავლის სიმრავლე, იქნება ყველა იმ სიმრავლის სიმრავლე, რომლებიც შედგებიან 1 ელემენტისაგან, - სიმრავლეთა სიმრავლე, რომლებიც შედგებიან 2 ელემენტისგან და ა.შ. ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ყველა სიმრავლის გადაკვეთა, რომლებიც შეიცავენ 0-ს როგორც ელემენტს და მოქცეულნი არიან -ს ქვეშ (რაც ნიშნავს, რომ თუ სიმრავლე შეიცავს n-ს, ის aსევე შეიცავს -საც). ამგვარი განსაზღვრება შეუსაბამოა ჩვეულებრივი სიმრავლეთა აქსიომატიკური თეორიის პირობებში მასში გამოყენებული შემადგენლების სიდიდის გამო (ის ასევე შეუსაბამოა ნებისმიერ სირავლეთა თეორიასთან გამოყოფის აქსიომით); მაგრამ ის გამოდგება ახალ საფუძვლებში (ასევე მსგავს, რაციონალურად ცნობილ სისტემებში) და ტიპების თეორიის ზოგიერთ სისტემაში.
ამ სტატიის დარჩენილ ადგილებში ჩვენ ვიყენებთ ზემოხსენებულ სტანდარტულ აგებულებას.
შესაძლებელია ნატურალური რიცხვების მიმატების შემდეგნაირად აღნიშვნა: a + 0 = a და a + S(b) = S(a + b) ნებისმიერი a, b-სთვის. ეს აქცევს ნატურალურ რიცხვებს (N, +) კომუტაციურ მონოიდებად ნეიტრალური ელემენტით 0. ე.წ. თავისუფალი მონოიდი ერთი მწარმოებლით. მონოიდი აკმაყოფილებს კვეცადობის თვისებას და შესაძლებელია მისი ჯგუფში გაერთიანება. უმცირესი ჯფუფი, რომელიც შეიცავს ნატურალურ რიცხვებს არის მთელი რიცხვები.
თუ შემოვიტანთ აღნიშვნას 1 := S(0), მაშინ b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). სადაც, b + 1 არის უბრალოდ b-ს მომდევნო რიცხვი.
ანალოგიური ხერხით ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ გამრავლების მოქმედებაც: a × 0 = 0 და a × S(b) =(a × b) + a. ეს აქცევს (N*, ×) თავისუფალ კომუტაციურ მონოიდად, ნეიტრალური ელემენტით 1; ამ მონოიდის მწარმოებელი არის მარტივ რიცხვთა სიმრავლე. მიმატება და გამრავლება ურთიერთშეთავსებადნი არიან და ეს გამოიხატება გადანაწილებადობის კანონში: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). მიმატებისა და გამრავლების თვისებების გამო ნატურალური რიცხვები განეკუთვნებიან კომუტაციური ნახევარწრის ინსტანციას. ნახევარწრეები არიან ნატურალური რიცხვების ალგებრული განზოგადებები, სადაც გამრავლება არააუცილებლად არის კომუტაციური.
ნატურალური რიცხვების „0-ის გარეშე“ ინტერპრეტაციისას, როდესაც ისინი იწყებიან 1-დან, +-ის და ×-ის განსაზღვრებები იგივეა იმის გამოკლებით, რომ ვიწყებთ a + 1 = S(a) and a × 1 = a - დან.
აქედან მოყოლებული სტატიაში გამოყენებული იქნება ab, რაც a × b-ს ანალოგიაა. ასევე დაცული იქნება მათემატიკურ მოქმედებათა სტანდარტული თანამიმდევრობა.
ტოლფასად, ნატურალური რიცხვები უტოლობის აღმნიშვნელი a ≤ b გამოიყენება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც არსებობს სხვა ნატურალური რიცხვი c, a + c = b გარემოებით. ეს გარემოება შეთავსებადია არითმეტიკულ მოქმედებებთან შემდეგნაირი დამოკიდებულებით: თუ a, b და c ნატურალური რიცხვებია და a ≤ b, მაშინ a + c ≤ b + c და ac ≤ bc. ნატურალური რიცხვების მნიშვნელოვანი თვისებაა ის, რომ ისინი მიმდევრობით კეთილგაწყობილნი არიან: ნატურალური რიცხვების ყოველი არაცარიელი სიმრავლე შეიცავს სულ მცირე ერთ ელემენტს მაინც. მიმდევრობით კეთილგაწყობილი სიმრავლეები თანრიგს განსაზღვრავს რიგობითი რიცხვი; ნატურალური რიცხვების შემთხვევაში ის გამოისახება „“-თი.
იმის გათვალისწინებით, რომ ზოგჯერ შეუძლებელია ერთი ნატურალური რიცხვის მეორეთი გაყოფით ისეცვ ნატურალური რიცხვის მიღება, ნაშთით გაყოფის პროცედურა გვევლინება შემცვლელად; ნებისმიერი ორი ნატურალური რიცხვისათვის a და b, როცა b ≠ 0, შესაძლებელია ვიპოვოთ ნატურალური რიცხვები q და r, რომლებიც აკმაყოფილებენ
q-ს ეწოდება კოეფიციენტი, ხოლო r-ს კი -- a-ს b-ზე გაყოფის შედეგად მიღებული ნაშთი. q და r უნიკალურად განისაზღვრებიან a-სა b-ს მეშვეობით. ეს გაყოფის ალგორითმი არის გზამკვლევი სხვა თვისებებისაკენ (გაყოდფადობა), ალგორითმებისკენ (როგორიც არის, მაგალითად ევკლიდეს ალგორითმი), და იდეებისაკენ რიცხვთა თეორიაში.
ნატურალური რიცხვები, ნულის ჩათვლით, ქმნიან კომუტაციურ მონოიდებს მიმატების (ნეიტრალური ელემენტით 0) და გამრავლების (ნეიტრალური ელემენტით ერთი) პირობებში.
გამოყენების მიხედვით ორი ძირითადი განზოგადება ამოტივტივდება:
საჭოროა ერთმანეთისგან განვასხვაოთ და , რადგან ბევრ მიმდევრობით განლაგებულ სიმრავლეს რაოდენობითი რიცხვით აქვთ -ზე დიდი რიგობითი რიცხვი. მაგალითად, ; არის უმცირესი რიგობითი რიცხვი.
სასრული მიმდევრობით განლაგებული სიმრავლეებისთვის არსებობს ერთი-ერთთან თანხვედრა რაოდენობით და რიგობით რიცხვებს შორის; მაშასადამე, შეიძლება ორივე ერთი და იგივე ნატურალური რიცხვით გამოისახოს, სიმრავლის ელემენტების რაოდენობით. ეს რიცხვი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ელემენტის პოზიციის დასაფიქსირებლად უფრო დიდ სასრულ, ან უსასრულო მიმდევრობაში.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.