総乗(そうじょう)とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a2c16aa9c012515ec3915af6284be536831468)
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)i∈I 」とすることができる。この列の総乗を
![{\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb8693752b67e42db197e3c82d01aea467b16b8)
などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)
![{\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690ab1b969f2a326ade6d92fbbeea19201a4b5f7)
積が非結合的な場合
積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
![{\displaystyle p_{1}=a_{1},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0533391ee11b454162d00d141558c9af1459d568)
![{\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23e7c6232a216bf12c99a0a7bdff989befc94dc)
このとき、
と書くことにすると、
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f835c795eb4cdc27fd577cc9e36b6beb42c32c7)
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
総和と同様に、可算無限列
の総乗
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5d174d73101d1e7675439f14115ab43885e347)
を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。
例
三角関数の無限乗積展開[3]
![{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8e63de716e48bd2748c75bcd2a9c6e0985bf3d)
![{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ce9d1b21bd38b1677c6be404618039fb1f22dc)
![{\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8405c83093d79dabc9799d7798b5d02434c20edd)
![{\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e7991e682a9dd944a13b75b242136020c804a6)
ウォリス積[7][8]
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff1587ceba293a3e68c8e46b600d05a10af2ceb)
オイラー乗積
![{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a904ed16bb7dcf58272f3936f1210295ac3d63e0)
ガンマ関数[3][9][10]
- :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53e441085b407b122780707a91eab5ca6c4e504)
(
はオイラーの定数である)[3][9]。
qポッホハマー記号
[11][12][13]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2300dbacc080eb2cd4241db1baff8caa0b9ee91)
qガンマ関数[12][13][14]
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51ff31f5114ddcb42c52e41b5479ad6a6d68934)
行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる[15]。
つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
Salem, A. (2012). On a
-gamma and a
-beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.